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1、第35卷第2期 电 子 与 信 息 学 报 Vol.35 No.2 2013年2月 Journal of Electronics Poisson noise; Total Variation (TV) minimization; Integro-differential equation 1 引言 图像去噪是图像处理的重要研究课题，也是图 像预处理的重要步骤。至今已经有许多算法用来从 带噪图像估计原始无噪图像。图像的噪声主要分为 加性噪声和乘性噪声。目前去除加性高斯噪声已经 较为成熟。 例如最经典的总变差最小化方法1不仅能 去除噪声而且能很好地保留图像的边缘。在此基础 上，文献2给出了相应的去
2、除乘性噪声的算法。然 而，很多情况下，图像所含的噪声是信号相关的， 并且服从泊松分布，如由光的统计特性和图像传感 器中光电转换过程中引起的光电子噪声，就具有这 种密度分布函数。 对于受泊松噪声污染图像的处理， 文献3用变分方法研究了图像泊松噪声的抑制，将 泊松噪声的去除归结为演化一个二阶偏微分方程到 稳定的状态。然而，二阶偏微分方程容易产生块效2012-08-24 收到，2012-12-07 改回 国家自然科学 基金(61105011) 和博士点新教师基金(2010020 3120010)资助课题 *通信作者：白键 应并且计算量较大，文献4用四阶偏微分方程克服 了这个缺点。文献5用交替投影法
3、来降低计算量。 最近，一些新的积分微分方程方法在图像去噪 上得到了一些应用。例如，文献6中提出了一种新 的积分微分方程，该方程可以很好地去除噪声并且 将图像分解成卡通和纹理成分；文献7中提出带有 分数阶时间导数和分数阶空间导数的偏微分方程， 然而其本质仍然是积分微分方程；文献8,9提出带 有时间积分的积分微分方程，该方程在去除高斯型 噪声方面比传统的偏微分方程方法有一定的优势。 本文考虑服从泊松分布的噪声，在经典总变差(TV) 最小模型的基础上，首先建立一种新的基于泊松噪 声的多尺度分层图像表示模型，然后引入连续时间 变量就得到了带有时间积分的新的积分微分方程。 新的积分微分方程是一种逆尺度空
4、间10方法，从零 图像演化到原始带噪图像。 对于新的积分微分方程， 讨论了它的一些性质，得到了能量分解定理，并且 给出了数值计算方法。数值实验证明本文的算法优 于经典的 TV 算法和四阶微分方程算法。 452 电 子 与 信 息 学 报 第 35 卷 2 基于泊松噪声的 TV 模型 经典的 TV 模型1是从求式(1)的极小化能量泛 函得到的。 ()2TV( )ddEuufu =+(1) 其中为正则化参数。式(1)中，第 1 项称为正则化 项， 第 2 项称为忠诚项。 TV 模型能很好地去除高斯 型噪声并且很好地保持图像的边缘。针对图像分布 的泊松分布特性，文献3先从贝叶斯估计的角度分 析图像去
5、噪的极值问题，进而构造相应的变分模型。 假设图像加性噪声服从泊松分布，即 ( ), 0!neP nnn = (2) 其中，均值和方差都是。为了从观测图像f估计 原始无噪图像u，基于对u最大后验估计来分析这 一问题。根据贝叶斯原理，有 ()() ( )( )P f u P uP u fP f= (3) 则问题就是极大化()( )P f u P u。 在泊松噪声假设下， 对每一个x，有 ()()( )( )( )( )( )|( )( )!u xf xu xeu xP f xuPf xf x = (4) 假设在区域中f在各像素点 ix处的值是彼此独 立的，则 ()()()()()!iif xu x
6、 iiieu xP f uf x = (5) 总变差正则化可以从假设先验分布 ()( )expdP uuu =(6) 得到，其中是正则化参数。 将()( )P f u P u的极大化问题转化为极小化 log( () ( )P f u P u，此时问题等价于极小化 ()()()()logdiii iu xf xu xu +(7) 引入连续变量x， 式(7)可以看成下面泛函的离散化： ()( )logddE uufuu =+(8) 泛函式(8)在uBV有定义并且满足logu ( )1L ，它的极小化解与泛函式(1)的极小化解有本 质的区别，那就是泛函式(8)的极小化解不能保持图 像的平均灰度值。更
7、进一步，有下面的性质： 定理 1 对于任意给定的，有du =dBVfu ，其中dBVuu =是BV半范。 证明 式(8)的欧拉-拉格朗日方程为 divufuuu+=两端积分并由格林公式得 ddivdd,ddBVufuuufuufuu+ =证毕 3 新的积分微分方程 泛函式(8)的极小解就是去噪图像。为了和文献 7中的形式保持一致，将泛函式(8)改写成 ()( )dlogdE uuufu =+(9) 对于非常小的，泛函式(9)的极小化解u仅仅包含 图像的主要轮廓。当越来越大时，u就含有越来 越多的图像细节。如果将f在初始尺度0下分解， 有 00 logargmindBV vufuuuv = =+
8、(10) 其中残差图像为00vfu=，它仍然包含一些图像 的细节，所以0v仍然可以在尺度1下分解： 1 01 logargmindBV vu vuuuv = =+(11) 其中残差图像为101vvu=。如果用一系列变化 的尺度参数12?来代替固定的尺度参数， 那么就得到一个新的多尺度分层图像表示，即求下 面一系列泛函的极小解： 1logargmindj jBVj vu vuuuv= =+(12) 其中残差图像为1jjjvvu=。 为了能够得到新的积分微分方程，引入连续时 间步长，并将ju以为单位重新求解，得 1logargmindj jBVj vu vuuuv=+(13) 其中残差图像1jjj
9、vvu=，所以在1N+步后 就得到了下面的多尺度分层图像表示：0fu= 001101+Nvuuvuuu+=+=?Nv+，即 0kNNkfuv=+(14) 对于多尺度图像表示的第1N +步： 1logargmindN NBVN vu vuuuv=+(15) 其中残差图像为1NNNvvu=。 其欧拉-拉格朗日 方程为 11divNNNNNNuuvuu =(16) 第 2 期 白 键等： 一种基于积分微分方程的泊松噪声去除算法 453 从等式(14)有110NkNkvfu=，将其代入式 (16)得到 01divNkNNNNkuufuu =(17) 令0 ，就得到新的积分微分方程(18)： ()()(
10、 )()() ()0, ,d, ,1, ,div, ,tu x y ssf x yu x y tu x y ttu x y t= (18) 其中初始条件为(), ,00u x y=，边界条件为u n 0=(0t )，尺度函数( )t是单调增加的。 本文用积分微分方程式(18)对带有泊松噪声的 图像进行去噪。根据实验结果，当t 时，解 ()() 0, , ,dtU x y tu x y ss=收敛于初始带噪图像f， 所 以函数族0( , , )tU x y t可以看成f的逆尺度空间表示，t是逆尺度参数。因此通过选择适当的时间参数t,(), ,U x y t就 是 去 噪 图 像 ，()(), ,
11、V x y tf x y= (), ,U x y t为残差图像。与定理 1 完全类似，对于新的积分微分方程有下面的性质： 定理 2 对于积分微分方程(18)，有 ( )1ddBVUfut=证明与定理 1 类似，不再累述。 定理 3 对于积分微分方程式(18)，有下面的能 量分解式： ()()()2202214, , ,dd( ), ,tLLu x y su x y sssV x y tf+=证明 为了书写方便，以下将空间变量, x y省 略。由式(18)，有 ()( )()() (),1,div,utUtfuttut= (19) 对式(19)两边同乘以(),ut，有 ()()()( )() (
12、)()2,1,div,utUtf ututtut= (20) 注意到()()()d,dutUtft=，对式(20)两端在上进行积分，得到 ()()()()()()()()( )() ()()2d,dd 1 d,d2 d,1div,d,UtfUtftUtfUtftututtut= (21) 接下来对式(21)两端在0,t上作时间积分，得到 ()()()()() ()()()() ()()() ()()由格林公式得22222202011,d22,1div,dd( ),2div,d( ),(),2,( ),tsLLtstsUtfUtf dffususssusUtffususssususussus=
13、= = ()() 0d22,dd( )tssususss= 移项后即得所证。 能量分解定理 3 给出了解u， 残差图像V和f之间的关系。如果( )t满足某种条件，还有更进一步的结果。 定理 4 给定带噪图像fBV，对于积分微分方程(18)，如果尺度函数( )t增加的足够快使其构 成阿达玛序列，即()( )/20lim ttt=，那么有 ()() 0,d, ,d df x yu x y ss = 证明 残差图像(),Vt可以写成 (),Vtf= ()()/20/2,d,dttsstussuss =，所以有不等式 ( )()( )()( )()()/20/2/2111,( ) 1,d( )tBVBVstBVBVsttVtftttsususss=+因为当t 时，( )t ， 所以上面不等式右边 第 1 项趋于 0；由假设和定理 3，第 2 项和第 3 项也 趋于 0。这样，得到( )()1lim,0BVtVtt=。 注意到()(),BVBVutVt，再由定理
