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1、第八章 非线性控制系统习题答案 8-1 解:由原方程得：，令2225 . 03)5 . 03(),(xxxxxxxxxxfx&，得：，解出奇点为：。0 xx&0) 1(2xxxx1, 0 x在处，特征根为：，显然为不稳定的焦点。0x984. 025. 02, 1js在处，特征根为：，显然为鞍点。1x225. 45 . 02, 1s概略画出奇点附近的相轨迹如下：-1 习题 8-1 相轨迹图 8-2 解:原方程可改写为： 0II0I p&xxxxxxxx 0,：0,：系统的特征方程及特征根为： )(618. 0,618. 1, 01II)(23 21, 01I2, 122, 12鞍点：稳定焦点：s
2、ssjsss推导等倾线方程：，则有：，即：xxdxxd &1xxx11&，画出系统相平面如下： 0, 11II0,11Ipxx：习题 8-2 相平面图8-3 （1）解：相平面上任一点的相轨迹斜率为：，xxx dxxd &sin由，得：，00dxxd&), 2, 1, 0(Lkkx因此在相平面的x轴上，的点均为奇点。), 2, 1, 0(Lkkx在x轴上满足的所有奇点附近，由泰勒级数展开来验证这类奇点), 2, 1, 0(2Lkkx 为稳定焦点。 在x轴上满足的所有奇点附近，由泰勒级数展开来验证这), 2, 1, 0() 12(Lkkx 类奇点为鞍点。 绘制相轨迹如下图所示：习题 8-3（1）相
3、轨迹图（2）解：原方程可改写为： 0II0I p&xxxxxx 0,：0,：系统的特征方程及特征根为：)( 1, 01II)(, 01I2, 122, 12鞍点：中心点：ssjss推导等倾线方程：，画出系统相平面如下： 0101p&xxxxxx,习题 8-3（2）相轨迹图（3）解：令，得，得出系统的奇点：0 xx&0sinxL,2, 0x当时，令，可以验证奇点L, 2, 1, 02kx，02xx为中心点。L, 2, 1, 02kx，当时，令，可以验证奇点L, 2, 1, 0) 12(kx，0) 12(xx为鞍点。L, 2, 1, 0) 12(kx，相轨迹为：，相轨迹如下图：xxsin1 &习题
4、 8-3（3）相轨迹图（4）解：由原方程得：，令，得奇点，在奇点处xxxxfx2),(&0 xx&0x 线性化，可知该奇点为中心点，概略绘制奇点附近的相轨迹如下图所示。习题 8-3（4）相轨迹图8-4（1）解，可按教材进行分析，相轨迹图如下所示（图中）：deedc&习题 8-4（1）相轨迹图（2）解，可按教材进行分析，相轨迹图如下所示（图中）：deedc&习题 8-4（2）相轨迹图 8-5（1）解：由结构图可得 110 ,110e1 , 0110 ,eMeMu且有：cececcreccTu&,1,所以： (3) 1 . 0 ,(2) 1 . 0e1 . 0 , 0(1) 1 . 0 ,eMeM
5、 eeT&开关线，初始状态为：1 . 0e0)0(, 1)0(1)0(ece&在区域：eTeM deedMeeT&,在区域：TdeedeeT1, 0&在区域：eTeM deedMeeT&,相轨迹如下图所示：习题 8-5（1）相轨迹图（2）由图可知，系统稳定，相轨迹与e轴相交于区间的某点，由知，1 . 0 , 1 . 00eeT&，系统将停止运动，且交点不会落在其它区域，故最大稳态误差：0, 0ee&。1 . 0maxe8-6 解：由图可得出：)61(ccre&由继电器非线性特性，有： (3) 1)61( , 9(2) 1)61(1- , 0(1) 1)61( , 9ccrccrccrc&相平面
6、上的开关线方程： (5) 306(4) 186 cccc &下面用解析法绘制系统的相轨迹。在区域，系统的方程为 ，积分有：，9c &212 129,9ctctcctc&由初始条件 c(0)3, ，可求得：。0(0)c &3, 021cc区域的参数方程为：，329,92tctc &消去参变量t得：(6) 31812cc&可知，在区域内的相轨迹为顶点（3，0） ，开口向右的抛物线（见下图） ，系统相轨迹 从A点出发到达B点，进入区域，B点满足方程(4)和(6)，可解出B点的坐标为 （1.5,9） 。 在区域，系统的方程为 ，积分有：，据B点的坐标（1.5,9）0c &433,ctcccc&求出区域
7、的参数方程为：5 . 19, 9tcc &显然区域的相轨迹是平行于c轴的直线（见下图） ，系统的相轨迹从B点到达C点，进入 区域，C点的坐标为（3.5,9） 。在区域，系统的方程为 ，由C点的坐标652 29, 99, 9ctctctcc&（3.5,9）求出 ，同上得出参数方程，消去参变量t，有：5 . 3, 965cc(7) 81812cc&可知，区域的相轨迹为顶点在（8，0） ，开口向左的抛物线（见下图） ，系统相轨迹从C 点经D点到达E进入区域。 按此继续下去，绘制相轨迹如下图所示。习题 8-6 相轨迹图由图知，系统到D点到达峰值，从A点运动D点所需的时间即为峰值时间，ADtsstttt
8、CDBCABAD920) 1921 (8.7 解:各开关线方程:时, ；时, ；时, 00e 5 . 02e(0)e&2。5e. 0(0)e&习题 8-7 相轨迹图由相轨迹可以看出，加入比例微分控制可以改善系统的稳定性，当微分作用增强时， 系统振荡减小，响应加快。8.8 解(a) 2 43)(XXN(b) XBKXN4)(c) (Xb) 2 21 21arcsin)(2)(Xb Xb XbkkkXN(d) (Xb) 22 114)(Xb Xa XMXN8.9解:(a) bXXXXbXbXXbK ,)(1)(1arcsinarcsin222 (b) ,KXKbCXXbCjKXKbC KXKbC
9、KXKbC KXKbC KXKbC KXKbCK,4)(1)(1arcsinarcsin2228-10 解:其中),(4)(14)(022XNhM XMhjXh XMxN，则，22 0)(4)(14)(XhjXh XhXNjhX XN1)(4)(120有：，4)(1Im0 XN由图知：，令，可得：，3) 1)(1(10)(sTsssG0)(ImjGT3建立方程：，可得： )(1Im)(4Im0XNjG1375. 0T当T0.1375)(1 xN时, 4G(j)和有两个交点A和B,如图所示。系统在B点时自振,在A点时发散，)(1 xNT 越大，自振频率越高，振幅越小。 当T=0.24 时，系统有
10、稳定的自振。可求得输出振幅：。9 .11,33. 0xC习题 8-10 相轨迹图 习题 8-12 相轨迹图8.11 解: 绘制曲线，无自振就是两曲线五交点，从而求出：。)(1)(xNjG和38ba 8.12 (1)解：设系统处于稳定自振状态时，线性环节的相角迟后，求) 1(2)(ssKsG0135此时的K，并确定输出端的自振频率与幅值。 （2）定性分析当K值增加时，系统输出端自振频率与幅值的变化趋势。解：（1）由，有：，22 2818)(XjXXxN818)(12jXxN线性环节，系统在Q点产生自振，此时，如下图所示。) 1(2)(ssKsG0135)(jG则有：，由此可得：，从而求得：8)1 (2)(Re8)1 (2)(Im22 KjGKjG8, 1K2X则输出端的幅值：，自振频率不变为：。6 . 32Kc1（2）当K增大时，由于增大，系统自振点Q向后移至，所以系统输出端的自)(jGQ振频率与幅值将随之增大。
