示范教案(141正弦函数、余弦函数的图象)

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1、 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司1.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 整体设计整体设计 教学分析教学分析研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象, 从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦 函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然,加 强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的 最重要的地方,而且对于周期函数

2、,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它 的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁白”, 指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种 引导.由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数 线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之 间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、 余弦函数的简图. 三维目标三维目标 1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线

3、的初步 认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题 时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力. 2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联 系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学 习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带 来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系, 树立科学的辩证唯物主义观

4、. 重点难点重点难点 教学重点:正弦函数、余弦函数的图象. 教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数 图象间的关系. 课时安排课时安排 1 课时 教学过程教学过程 导入新课导入新课思路思路 1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看 有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我 们也很自然的想知道 y=sinx 与 y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修 1 中学过的指数 函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进 而引导学生通

5、过取值,画出当 x0,2时,y=sinx 的图象.思路思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑 料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一 块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆 动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移 s(纵坐标)随时 间 t(横坐标)变化的情况. 有了上述实验,你对正弦函数、余弦

6、函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最 基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的 正弦函数图象. 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题问题:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角 的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并 用线段长(或用有向线段数值)表示 x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的 准确数据呢?简单地说,就是如何得到 y=sinx,x0,2的精确图象呢? 问题:如何得到 y=sinx,xR 时的图象?活动活动:教师先让学生阅读教

7、材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本 上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在 x 轴上标横坐标?为 什么将单位圆分成 12 份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了 y=sinx,x0,2的图象,就很容易得到 y=sinx,xR 时的图象了.对问题,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并 12 等分,再把 x 轴上从 0 到 2 这一段 分成 12 等份.由于单位圆周长是 2,这样就解决了横坐标问题.过O1上的各分点作 x 轴的垂线,就可以得到对应于 0、2 等角的正弦线,这样就解决了纵坐标6 4 3 2问题(相当于“列表”).

8、第二步,把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,这 就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我 们就得到函数 y=sinx 在0,2上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图 1 所示(这一过程用 课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象 的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图 1对问题,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数 y=sinx 在 x2k,2(k+1), kZ 且 k0 上的图象与函数 y=sinx 在 x0,2上的图象的形状完全一致,只是位置不

9、同.于 是我们只要将函数 y=sinx,x0,2的图象向左、右平行移动(每次 2 个单位长度),就可以 得到正弦函数 y=sinx,xR 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过 程,感知周期性)http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司图 2 讨论结果讨论结果:利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到 y=sinx,x0,2的图象. 左、右平移,每次 2 个长度单位即可. 提出问题提出问题如何画出余弦函数 y=cosx,xR 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正 弦函数图象得到余弦函数图象吗?活动活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根

10、据已学的知识,教师引导学生观 察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学 生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手 做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习 正弦函数、余弦函数的性质打下基础. 讨论结果讨论结果:把正弦函数 y=sinx,xR 的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象.如图 3.2图 3 正弦函数 y=sinx,xR 的图象和余弦函数 y=cosx,xR 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 点. 提出问题提出问题问题:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,

11、自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象 的方法.你认为哪些点是关键性的点? 问题:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在0,2上的图象吗?活动活动:对问题,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在 0,2上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数 y=sinx 在0,2上的图象的形 状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0).2 23因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们 连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握. 对问题,引导学生通过类比,很容

12、易确定在0,2上起关键作用的五个点,并指导学生通 过描这五个点作出在0,2上的图象. 讨论结果讨论结果:略.关键点也有五个,它们是:(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).2 23应用示例应用示例 思路思路 1 例 1 画出下列函数的简图http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司(1)y=1+sinx,x0,2;(2)y=-cosx,x0,2.活动活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习 1 领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学 却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列

13、表、描点、连线”三步来完成.对学生 出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处. 解解:(1)按五个关键点列表:x02232sinx010-101+sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 4).图 4 (2)按五个关键点列表:x02232cosx10-101-cosx-1010-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 5).图 5点评点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的 目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些 动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将

14、会令人满意,切不可教师画图学生看.完成 本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让学生从 另一个角度熟悉函数作图的方法. 变式训练变式训练2007 山东临沂一摸统考 17(1)在给定的直角坐标系如图 6 中,作出函数 f(x)=cos(2x+)在24区间0,上的图象. 解解:列表取点如下:x08 83 85 8742x4 223249http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司f(x)102021描点连线作出函数 f(x)=cos(2x+)在区间0,上的图象如图 7 所示.24图 6 图 7 思路思路 2 例 1 画出函数 y=|sinx|,xR

15、的简图.活动活动:教师引导学生观察探究 y=sinx 的图象并思考sinx的意义,发现只要将其 x 轴下 方的图象翻上去即可.进一步探究发现,只要画出 y=|sinx|,x0,的图象,然后左、右平移(每 次 个单位)就可以得到 y=|sinx|,xR 的图象.让学生尝试寻找在0,上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),(,1),(,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立操作2完成,对其失误的地方再予以一一纠正. 解解:按三个关键点列表:x02sinx010y=sinx010描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 8).图 8点评点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图象 变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔. 变式训练变式训练1.方程 sinx=的根的个数为( )10xA.7 B.8 C.9 D.10 解解