高数B(下)试题参考答案

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1、高数 B（下）试题参考答案 高数 B（下）试题参考答案 一、填空题：填空题： 1、 2 ； 2 、2cos20 2( cos , sin )df rrr dr； 3、 2 2 ； 4、 5 ； 5、12(cos2sin2 )xcxcx+e 二、选择题： 二、选择题： 1)、B 2)、A 3)、C 4)、D 5)、B 三、计算题： 三、计算题： 1解：1) 1y zuyxxz=2) 12 3xzFFFFz xFF+= = 32. 解：令cos ,sin ,02 ,2xryrr= 22220sinsinDxy dxdydr rdr+=222 cos |cosrrrdr =+ 22 306=+= 3

2、. 解：令2222,.yxPQxyxy=+则当220xy+时，有 22222.()QyxP xxyx=+ 记 L 所围成的闭区域为 D。当（0，0）D 时，由格林公式得 220, Lxdyydx xy=+ ?当（0，0）时，选取适当小的，作位于 D 内的圆周D0r 22: l xyr2+=，记L和l所围成的区域为，则 1D22220, Llxdyydxxdyydx xyxy=+?其中l的方向为逆时针方向。于是 2222Llxdyydxxdyydx xyxy=+?222222 0cossin2 .rrdr+=4、 解：将补充成闭曲面，令上侧。由高斯公式 22 1:0,zxyR=+21133333

3、3333x dydzy dzdxz dxdyx dydzy dzdxz dxdyx dydzy dzdxz dxdy+=+?2222223()0:0xyzdxdydzzRxyz= +=和围成 2222 0003Rddrrdsinr= 42 006sinRdr d = r 5 56655RR= = 5、解：1 13nna =+111313limlim(1 3)lim311 313nnn nnnnn naRa+ =+=+=当时，级数3x = 11( 3)1 3n n n=+的一般项为1( 3)1 3n n+当时不为零，故发散。 n 所以，级数11 1 3n n nx=+的收敛域为( 3,3)。 6

4、、解：级数的收敛域为( 1，对,1)( 1,1)x 2120111( )21xnnns xxx dxn +=+n201xnnx dx=22011ln12x1xxdxxxx+= +7、解：原方程化为 221y dyx ydx x = +令,yuyxuyuxux=+，代入上式 2 222 121212uuuxuxuuuu+= +即(1)u u+ +分离变量： 21221udduux+= +xc积分得： 2arctanln(1)2lnuux+= +把yux=代入得：22arctanln(1)2lnyyxcxx+= + 即： 22arctanln()yxycx+= 8、解：设，则 222( , , )

5、14f x y zxyz=+2 ,2 ,2xyzfxfyfz=， 所以曲面在点处的法向量为( 2( 1,2,3),4, 6)。 切平面方程为： 2(1)4(2)6(3)0xyz+= 0即： 2314xyz+= 法平面方程为： 12 1233xyz+=四、证明题 四、证明题 1、证明：00(,0)(0,0)00(0, 0)limlim0xxxfxffxx =类似地 (0,0)0yf= 故( , )f x y在点处的偏导数存在。 (0,0)因 22(,)(0,0)(0,0)(0,0)limxyxyzfxfyxy +22220(,)(0,0)limlim xyxyxy xyxy =+显然，当xy = ，2xy = 时，上述极限不相等，故上述极限不存在。 因此( , )f x y在点(0处不可微。 ,0)2、证明：因 11(1, 2,nnnnaanbb+=?) 所以 1111nnnnaaa bbb?， 即 111,nnnababbba或1 na 因而 若级数收敛，则级数1n nb=111n nabb=收敛，从而1n na=也收敛； 若级数发散，则级数1n na=111n nabb=发散，从