《高中数学第二章概率2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教b版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章概率2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教b版选修2-3（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.3.22.3.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(重点)3.掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.(难点)基础初探教材整理 1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材 P62例 1 以上部分，完成下列问题.离散型随机变量的方差与标准差名称定义意义方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn，则D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn，叫做这个离散型随
2、机变量X的方差.标准差D(X)的算术平方根叫做离散型随机变DX量X的标准差.离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度).1.下列说法正确的有_(填序号).离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.【解析】 错误.因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.错误.因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.错误.因为离散型随机变量的
3、方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.正确.由方差的意义可知.【答案】 22.已知随机变量X，D(X) ，则的标准差为_.1 9【解析】 X的标准差 .DX1 91 3【答案】 1 3教材整理 2 二点分布、二项分布的方差阅读教材 P63例 2 以下部分，完成下列问题.服从二点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p).若随机变量X服从二点分布，且成功概率P0.5，则D(X)_，E(X)_. 【导学号：62980055】【解析】 E(X)0.5，D(X)0.5(10.5
4、)0.25.【答案】 0.25 0.5质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型离散型随机变量的方差的性质及应用设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、期望及方差；3(2)求Y的分布列、期望及方差.【精彩点拨】 (1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性质求解.【自主解答】 (1)X的可能取值为 0,1,2.若X0
5、，表示没有取出次品，其概率为P(X0)，同理，有P(X1)C 3 10 C 3 126 11，C1 2C 2 10 C 3 129 22P(X2).C2 2C 1 10 C 3 121 22X的分布列为X012P6 119 221 22E(X)012 ，6 119 221 221 2D(X)222.(01 2)6 11(11 2)9 22(21 2)1 223 229 889 8815 44(2)Y的可能取值为 1,2,3，显然XY3.法一：P(Y1)P(X2)，1 22P(Y2)P(X1)，9 22P(Y3)P(X0)，6 11Y的分布列为Y123P1 229 226 11E(Y)123 ，
6、1 229 226 115 2D(Y)222.(15 2)1 22(25 2)9 22(35 2)6 1115 44法二：E(Y)E(3X)3E(X) ，5 2D(Y)D(3X)(1)2D(X).15 441.由本例可知，利用公式D(aXb)a2D(X)及E(aXb)aE(X)b来求E(Y)及D(Y)，4既避免了求随机变量YaXb的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.2.若XB(n，p)，则D(X)np(1p)，若X服从二点分布，则D(X)p(1p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程.再练一题1.为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.
7、某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)3，D(X) ，求n，p的值.3 2【解】 由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)np3，D(X)np(1p) ，3 2得 1p ，1 2p ，n6.1 2求离散型随机变量的方差、标准差编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E()和D().【精彩点拨】 首先确定的取值，然后求出的分布列，进而求出E()和D()的值.【自主解答】 的所有可能取值为 0,1,3，0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况
8、，即编号为 1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生，则P(0) ；2 A3 31 31 表示三位同学只有 1 位同学坐对了.则P(1) ；C1 3 A3 31 23 表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(3) .1 A3 31 6所以，的分布列为013P1 31 21 65E()0 1 3 1；1 31 21 6D() (01)2 (11)2 (31)21.1 31 21 6求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1.已知分布列型(非二点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，(1)求均值；(2)求方差.2.已知分布列是二点分布或二项分布型：直接套用公式求
9、解，具体如下，(1)若X服从二点分布，则D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p).3.未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.4.对于已知D(X)求D(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用D(aXb)a2D(X)求解.再练一题2.有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5，从中随机地抽取 3 张卡片，设3 张卡片数字之和为，求E()和D().【解】 这 3 张卡片上的数字之和为，这一变量的可能取值为 6,9,12.6 表示取出的 3 张卡片上均标有 2，则P(6).C3 8 C 3 107 159 表示
10、取出的 3 张卡片上两张标有 2，一张标有 5，则P(9).C2 8C1 2 C 3 107 1512 表示取出的 3 张卡片上一张标有 2，两张标有 5，则P(12).C1 8C2 2 C 3 101 15的分布列为6912P7 157 151 15E()69127.8.7 157 151 156D()(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.7 157 151 15探究共研型期望、方差的综合应用探究 1 A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.0
11、40.10试求E(X1)，E(X2).【提示】 E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430.100.44.探究 2 在探究 1 中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】 不能.因为E(X1)E(X2).探究 3 在探究 1 中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】 利用样本的方差.方差越小，加工的质量越稳定.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，
12、乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.【精彩点拨】 (1)由分布列的性质先求出a和乙射中 7 环的概率，再列出，的分布列.(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值.【自主解答】 (1)由题意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因为乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.所以乙射中 7 环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分别为109877P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)
13、由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，D()D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.构建体系1.设一随机试验的结果只有A和 ，且P(A)m，令随机变量Error!则的方差AD()等于( )A.m
14、B.2m(1m)C.m(m1)D.m(1m)【解析】 随机变量的分布列为：01P1mmE()0(1m)1mm.D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m).【答案】 D2.已知X的分布列为X101P0.50.30.2则D(X)等于( )A.0.7B.0.61C.0.3D.0【解析】 E(X)10.500.310.20.3，D(X)0.5(10.3)20.3(00.3)20.2(10.3)20.61.【答案】 B3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)E(X2)，9D(X1)D(X2)，则自动包装机_的质量较好. 【导学号：62980056】【解析】 因为E(X1)E
