《高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教b版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教b版选修2-2（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.2.22.2.2 反证法反证法1了解反证法的思考过程、特点(重点、易混点)2会用反证法证明简单的数学问题(重点、难点)基础初探教材整理 反证法阅读教材 P66P67“例 3”以上部分，完成下列问题1反证法的定义由证明pq转向证明：綈qrt，t与_矛盾，或与某个_矛盾， 从而判定_，推出_的方法，叫做反证法 2常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与_、定理、公式、定义或_矛盾；(3)与_矛盾(例如，导出 01,00 之类的矛盾)【答案】 1假设 真命题 綈q为假 q为真 2(2)数学公理 已被证明了的结论 (3)公认的简单事实1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明
2、问题的方法( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理( )(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾( )【答案】 (1) (2) (3)2已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_【解析】 空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交【答案】 b与c平行或相交质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：2疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型利用反证法证明否定性命题(1)用反证法证明：“若方程ax2bxc0，且a，b，c都是奇数，则方程
3、没有整数根” ，正确的假设是方程存在实数根x0为( )A整数 B奇数或偶数C自然数或负整数D正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不abc成等差数列【自主解答】 (1)要证明的结论是“方程没有整数根” ，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选 A.【答案】 A(2)证明：假设， ， 成等差数列，则2，abcacb即ac24b.ac又a，b，c成等比数列，所以b2ac，即b，ac所以ac24，acac所以ac20，即()20，acac所以，从而abc，ac所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾原假设错误，故， ，
4、 不成等差数列abc1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2反证法证明问题的一般步骤3再练一题1设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和求证：数列Sn不是等比数列【证明】 假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，2 2即a(1q)2a1a1(1qq2)，2 1因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0 矛盾所以数列Sn不是等比数列利用“反证法” “证明” “至少”“至多”等存在性命题已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)
5、a不能都大于 .1 4【精彩点拨】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于” 【自主解答】 假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于 .1 4a，b，c(0,1)，1a0,1b0,1c0. .1ab 21ab1 41 2同理 ，1bc 21 2 .1ca 21 2三式相加得 ，1ab 21bc 21ca 23 24即 ，矛盾3 23 2所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于 .1 4应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多” “至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论
6、词反设词结论词反设词 至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立 至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立 至少有n个至多有n1 个p或q綈p且綈q 至多有n个至少有n1 个p且q綈p或綈q再练一题2已知a，b，c，dR R，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数【证明】 假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，所以acbd1，这与已知acbd1 矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数探究共研型利用反证法证明唯一性命题探究 反证法解题的实质是什么？【提示】 否定结论、导出矛
7、盾，从而证明原结论正确已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且ab.求证：过a，b，m有且只有一个平面【精彩点拨】 “有且只有”表示“存在且唯一” ，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑【自主解答】 因为ab，所以过a，b有一个平面.又因为maA，mbB，所以Aa，Bb，所以A，B.5又因为Am，Bm，所以m，即过a，b，m有一个平面，如图假设过a，b，m还有一个平面异于平面，则a，b，a，b，这与ab，过a，b有且只有一个平面矛盾因此，过a，b，m有且只有一个平面用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只
8、有” “只有一个” “唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性” ，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性再练一题3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点【证明】 由于f(x)在a，b上的图象连续，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即 00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即 00，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点构建体系61 “自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca
9、，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】 D2用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) 【导学号：05410048】A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”【答案】 B3 “x0 且y0”的否
10、定形式为_【解析】 “p且q”的否定形式为“綈p或綈q” 【答案】 x0 或y04用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设_【解析】 “xa且xb”形式的否定为“xa或xb” 【答案】 xa或xb5若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0 至少有一个方程有两个相异实根【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加得a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20，abc.这与a，b，c互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根7我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)
