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1、12.4.12.4.1 抛物线的标准方程抛物线的标准方程(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1准线与x轴垂直，且经过点(1，)的抛物线的标准方程是( )2Ay22x By22xCx22y Dx22y【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，则()2a，解得a2，因此2抛物线的标准方程为y22x，故选 B.【答案】 B2以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为( )25A2 B4 C6 D8【解析】 设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，25抛物线的准线方程为x
2、 ，p 2不妨设A，D.(4 p，2 2)(p 2， 5)点A，D在圆x2y2r2上，(4 p，2 2)(p 2， 5)Error!85，p4(负值舍去)16 p2p2 4C的焦点到准线的距离为 4.【答案】 B3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线x2 a2y2 b22y24x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )3A. B23C2 D23【解析】 抛物线的焦点为(，0)，即c.双曲线的渐近线方程为yx，由 33b ab a，即ba，所以b22a2c2a2，所以c23a2，即e23，e，即离心率为.2233【答案】 B24抛物线y212x的准线与双曲线1 的两条
3、渐近线所围成的三角形的面积y2 3x2 9为( )【导学号：15460045】A3 B233C2 D3【解析】 抛物线y212x的准线为x3，双曲线的两条渐近线为yx，它们33所围成的三角形为边长等于 2的正三角形，所以面积为 3，故选 A.33【答案】 A5抛物线y28x的焦点到准线的距离是( )A1 B2 C4 D8【解析】 由y22px8x知p4，又焦点到准线的距离就是p.故选 C.【答案】 C二、填空题6抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离之和是 5，则线段AB的中点到y轴的距离是_【解析】 抛物线y22x的焦点为F，准线方程为x ，设A(x1，y1)，(1 2，0)1 2B(x2
4、，y2)，则|AF|BF|x1 x2 5，解得x1x24，故线段AB的中点横坐标为1 21 22.故线段AB的中点到y轴的距离是 2.【答案】 27对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上的一点，则|MF|1 1 6，所以不满足；由于抛物线y210x的焦p 25 27 2点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为
5、(2,1)(5 2，0)(x5 2)时，则k2，此时存在，所以满足【答案】 8抛物线y2x2的准线方程为_3【解析】 方程化为标准方程为x2y，故 ，开口向上，1 2p 21 8准线方程为y .1 8【答案】 y1 8三、解答题9求焦点在x轴上，且焦点在双曲线1 上的抛物线的标准方程x2 4y2 2【解】 由题意可设抛物线方程为y22mx(m0)，则焦点为.(m 2，0)焦点在双曲线1 上，x2 4y2 21，求得m4，m2 4 4所求抛物线方程为y28x或y28x.10已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大 1，求动点P的轨迹方程【解】 法一 设点P的坐标为(x，y)，
6、则有|x|1.x12y2两边平方并化简，得y22x2|x|.y2Error!即点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)法二 由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大 1，由于点F(1,0)到y轴的距离为 1，故当x0 时，直线y0 上的点符合条件；当x0 时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1 的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x1 为准线的抛物线，方程为y24x.故所求动点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)能力提升1已知P为抛物线y24x上的一个动点，直线l1：x1，l2：xy30，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )A2 B42C.
7、D123 22【解析】 将P点到直线l1：x1 的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，P到两直线的距离之和的最4小值为2，故选 A.|103|12122【答案】 A2过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|3，则AOB的面积为( ) 【导学号：15460046】A. B222C. D23 222【解析】 根据题意画出简图(图略)，设AFO(00)则A(2，2)，代入方程得p1，抛物线的方程为x22y，设B(x0，3)(x00)的准线过双曲线1(a0，b0)的左焦点F1，点Mx2 a2y2 b2是两条曲线的一个公共点(2 3，2 63)(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程【解】 (1)把M代入方程y22px，(2 3，2 63)得p2，因此抛物线的方程为y24x.(2)抛物线的准线方程为x1，所以F1(1,0)，设双曲线的右焦点为F，则F(1,0)，于是 2a|MF1|MF| ，|7 35 3|2 3因此a .1 3又因为c1，所以b2c2a2 ，8 9于是，双曲线的方程为1.x2 1 9y2 8 9
