《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时提升作业1新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时提升作业1新人教a版选修1-1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质一、一、选择题选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2015安徽高考)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是 ( )A.x2-=1B.-y2=1y2 4x2 4C.-x2=1D.y2-=1y2 4x2 4【解析】选 C.由题意知,选项 A,B 的焦点在 x 轴上,故排除 A,B,C 项的渐近线方程为 y=2x.2.(2016合肥高二检测)点 P 为双曲线 C1:-=1(a0,b0)和圆 C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且x22y222PF1F2=PF2F1,其中 F1,F2为双
2、曲线 C1的两个焦点,则双曲线 C1的离心率为 ( )A.B.1+C.+1D.2323【解题指南】由题意:PF1PF2,且 2PF1F2=PF2F1,故PF1F2=30,PF2F1=60.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.由 e=,能求出双曲线的离心率.322|12| |1| |2|【解析】选 C.由题意:PF1PF2,且 2PF1F2=PF2F1,所以PF1F2=30,PF2F1=60.设|PF2|=m,则|PF1|=m,3|F1F2|=2m.e=22|12| |1| |2|23 =+1.3- 2 -【补偿训练】双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲
3、线的离心率为 ( )x22y22A.2B.C.D.323 2【解析】选 C.依题意=-1,所以 a2=b2.(b )(- )则 e2=2,所以 e=.c22a2+ 2223.(2016宁波高二检测)与双曲线-=1 有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为 ( )x2 9y2 163A.-=1B.-=1x2 4429y2 4429C.-=1D.-=1429x2 4429y2 4【解析】选 D.设所求双曲线方程为-=(0),把(-3,2)代入方程得 -=,所以 = .x2 9y2 1639 912 161 4故双曲线方程为-= ,即-=1.x2 9y2 161 4429y2 44.设 a
4、1,则双曲线-=1 的离心率 e 的取值范围是 ( )x22y2( + 1)2A.(,2)B.(,)225C.(2,5)D.(2,)5【解析】选 B.e2=+ +2=+1,a2+ ( + 1)22122 (1 + 1)2因为 a1,所以 01,所以0,b0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为x22y22E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 .【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】假设点 A 在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得 A,代入双曲线方程(- ,3 2)-=1,
5、x22y22- 4 -可得-=1,所以 e2-1=,又 e1,所以可求得 e=2.c229 422 29 422 1答案:27.(2016菏泽高二检测)设 F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,以线段 F1F2为直径的x22y22圆交双曲线左支于 A,B 两点,且AF1B=120,若双曲线的离心率介于整数 k 与 k+1 之间,则 k= .【解析】因为以线段 F1F2为直径的圆交双曲线左支于 A,B 两点,且AF1B=120,所以OF1A 是等边三角形,所以|AF1|=c,|AF2|=c,3所以 2a=|AF2|-|AF1|=(-1)c,3所以 e= =+1,c 23 13因
6、为双曲线的离心率介于整数 k 与 k+1 之间,所以 k=2.答案:28.(2016厦门高二检测)设椭圆 C1的离心率为,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2上的点到椭圆5 13C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2的标准方程为 .【解析】设椭圆 C1的方程为+=1(a1b10),x221y221由已知得所以21= 26, =11=5 13,?a1= 13, 1= 5.?所以焦距为 2c1=10.又因为 80,b20),x222y222则 a2=4,c2=5,所以=52-42=32=9,b22所以曲线 C2的方程为-=1.x2 16y2 9答案:-=1x2 16y2
7、9三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.(2016威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为 x+y=0,且与椭圆 x2+4y2=64 有相同的焦距,求双3曲线的标准方程.【解析】椭圆方程为+=1,x2 64y2 16所以椭圆的焦距为 8.3当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0),x22y22所以解得.a2+ 2= 48, =33,?a2= 36, 2= 12?所以双曲线的标准方程为-=1.x2 36y2 12当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0),y22x22所以解得a2+ 2= 48, =3
8、3,?a2= 12, 2= 36.?所以双曲线的标准方程为-=1.y2 12x2 36- 6 -由可知,双曲线的标准方程为-=1 或-=1.x2 36y2 12y2 12x2 3610.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).210(1)求此双曲线的方程.(2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求证:=0. F1 F2【解析】(1)因为离心率 e= =,所以 a=b.c 2设双曲线方程为 x2-y2=n(n0),因为点(4,-)在双曲线上,10所以 n=42-(-)2=6.10所以双曲线方程为 x2-y2=6.(2)因为点 M(3,m)在双曲线上,故 m2
9、=3.又点 F1(-2,0),3点 F2(2,0),3所以=-=-1.k1k2m3 + 2 3m3 2 3m2 3所以=0. F1 F2一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1010 分分) )1.(2014重庆高考)设 F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得x22y22|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|= ab,则该双曲线的离心率9 4为 ( )- 7 -A.B.C.D.34 35 39 4【解析】选 B.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2
10、|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即 4|PF1|PF2|=9b2-4a2,又 4|PF1|PF2|=9ab,因此 9b2-4a2=9ab,即 9-4=0,则(b )29=0,解得 =,则双曲线的离心率 e= .(3+ 1)(3 4)b 4 3( =1 3舍去)1 +( )25 32.(2016唐山高二检测)设 F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在x22y22一点 P 满足|PF2|=|F1F2|,且 cosPF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为 ( )4 5A.3x4y=0B.4x3y=0C.3x5y=0D.5x4y=0【解题指南】根
11、据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由cosPF1F2= ,求出 的值.4 5b 【解析】选 B.作 F2QPF1于点 Q,因为|F1F2|=|PF2|,所以点 Q 为 PF1的中点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因为 cosPF1F2= ,所以=cosPF1F2,4 5|1| |12|即= ,得 3c=5a,a + 24 5所以 3=5a,得 = ,a2+ 2b 4 3- 8 -故双曲线的渐近线方程为 y= x,即 4x3y=0.4 3二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分
12、分, ,共共 1010 分分) )3.(2016深圳高二检测)已知双曲线 an-1y2-anx2=an-1an的焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 y=x,其中2an是以 4 为首项的正数数列,则数列an的通项公式是 .【解析】双曲线即:-=1.y2 x2 1因为an是以 4 为首项的正数数列,一条渐近线方程为 y=x,2所以=,=2,所以 an=42n-1=2n+1.a 12a 1答案:an=2n+14.(2016重庆高二检测)设 F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使x22y22得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 .
13、【解析】由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,所以 4a2=b2-3ab,等号两边同除以 a2,化简得-3 -4=0,(b )2b 解得=4 或 =-1(舍去),b b 故离心率e= =.c c22a2+ 221 +( )2 17答案:17- 9 -三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )5.双曲线-=1(a1,b0)的焦距为 2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-x22y221,0)到直线l的距离之和 s c,求双曲线离心率 e 的取值范围.4
14、5【解析】设直线l的方程为 + =1,x y 即 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a1,得点(1,0)到直线l的距离 d1=,点(-1,0)到直线l的距离 d2=b( 1)2+ 2.b( + 1)2+ 2所以 s=d1+d2=.22+ 22由 s c,得 c,即 5a2c2.4 524 5c2 2因为 e= ,所以 52e2,c e2 1所以 25(e2-1)4e4,即 4e4-25e2+250,所以 e25(e1).所以e,5 4525即 e 的取值范围为.52, 56.(2016青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),若此圆过点P 的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为 P(3,-1)的圆的切线方程为 3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为 3xy=0.- 10 -当焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0),x22y22则其渐近线方程为 y= x,即=3,b b 则双曲线方程可化为-=1,x22y292因为双曲线过点 P(3,-1),所以-=1,所以 a2=,b2=80,9219280 9所以所求双曲线方程为-=1.x2 80 9y2 80当焦点在 y
