《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用课时提升作业2新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用课时提升作业2新人教a版选修1-1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -双曲线方程及性质的应用双曲线方程及性质的应用(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分) )1.若 ab0，则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是 下图中的 ( )【解析】选 C.方程可化为 y=ax+b 和+=1.从 B，D 中的两椭圆看 a，bx2 y2 (0，+)，但 B 中直线有 a0 矛盾，应排除；再看 A 中双曲线的 a0，但直线有 a0，b0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的 a0，b1，故 10，b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂x22y2
2、2直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A.(1，)B.(，+)22C.(1，2)D.(2，+)【解析】选 D.设 A(-c，y0)，代入双曲线方程得-=1，所以=.c22y22y20b42所以|y0|=，b2 所以|AF|=.b2 因为ABE 是钝角三角形，所以AEF45.- 3 -则只需|AF|EF|，即a+c，所以 b2a2+ac，b2 即 c2-a2a2+ac，c2-ac-2a20.所以 e2-e-20，解得 e2，e0，b0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆x22y22+y2=3 相切，则双曲线的方
3、程为 ( )(x 2)2A.-=1B.-=1x2 9y2 13x2 13y2 9C.-y2=1D.x2-=1x2 3y2 3【解析】选 D.由双曲线的渐近线 bx-ay=0 与圆(x-2)2+y2=3 相切可知=，又因为 c=22+ 23=2，所以有 a=1，b=，故双曲线的方程为 x2-=1.a2+ 23y2 3二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分) )6.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为 F(，0)，直线 y=x-1 与其相交于 M，N 两点，MN 中点的横坐标7为-，则双曲线的方程为_.2 3【解析】由题意知中点坐标为，(-2 3, 5 3)设双曲
4、线方程为-=1.x22y27 2M(x1，y1)，N(x2，y2)，则-=1 ，x212y217 2- 4 -=1，x222y227 2-得=，即=，(1+ 2)(1 2)2(1+ 2)(1 2)7 2x1+ 21+ 2a27 2y1 21 2所以=，解得 a2=2，-4 310 3a27 2故双曲线方程为-=1.x2 2y2 5答案：-=1x2 2y2 5【拓展延伸】弦的中点及弦长问题的解决思路(1)联立直线与双曲线方程.(2)消元得关于 x 或 y 的一元二次方程.(3)根的判别式、根与系数的关系.(4)弦长问题、弦的中点问题的解决.7.(2014浙江高考)设直线 x-3y+m=0(m0)
5、与双曲线-=1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点x22y22A，B，若点 P(m，0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是_.【解题指南】求出 A，B 的坐标，写出 AB 中点 Q 的坐标，因为|PA|=|PB|，所以 PQ 与已知直线垂直，寻找 a 与 c 的关系.【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 y=x 与 y=-x，分别与 x-3y+m=0(m0)联立方程组，b b 解得 A，B，(- 3, 3) (- + 3, + 3)- 5 -设 AB 的中点为 Q，则 Q(，)，- 3+ + 32- 3+ + 32因为|PA|=|PB|，所以 PQ 与已知直线垂直，所以 kP
6、Q=-3，解得 2a2=8b2=8(c2-a2)，即=，=.c225 4c 5 2答案：5 28.已知双曲线-=1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜x2 12y2 4率的取值范围是_.【解析】由题意知 F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为 y=x，3 3当过 F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，-k.3 33 3答案：-33,33【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直
7、线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分，共分，共 2020 分分) )9.双曲线-=1(a1，b0)的焦距为 2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点x22y22(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和 sc，求双曲线离心率 e 的取值范围.4 5- 6 -【解析】由题意知直线l的方程为+=1，x y 即 bx+ay-ab=0，则+c，| |2+ 2| - |2+ 24 5整理得 5ab2c2.又因为 c2=a2+b2，所以 5ab2a2+2b2.所以2.e=1 2b c 1 +( )2所以e.5 2510.(201
8、5合肥高二检测)直线l：y=kx+1 与双曲线 C：2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A，B.(1)求实数 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.【解题指南】(1)与右支交于两点，则联立直线与双曲线后得到的一元二次方程有两正根.(2)以 AB 为直径的圆过点 F 则 FAFB.【解析】(1)将直线l的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0，依题意，直线l与双曲线 C 的右支交于不同两点，所以k2 2 0, = (2)2
9、8(2 2) 0,22 2 0,22 2 0,?解得 k 的取值范围为k|-20，b0)的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与双曲线x22y22的一条渐近线相交于 O，A 两点，若AOF 的面积为 b2，则双曲线的离心率等于 ( )A.B.C.D.353 252【解析】选 D.因为 A 在以 OF 为直径的圆上，所以 AOAF，- 8 -所以 AF：y=-(x-c)与 y=x 联立解得 x=，y=，a b a22+ 2a2+ 2因为AOF 的面积为 b2，所以c=b2，所以 e=.1 2a2+ 25 22.过双曲线-=1 的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线的条数为
10、 ( )x2 20y2 55A.4B.3C.2D.1【解析】选 D.依题意可得右焦点 F(5，0)，所以垂直 x 轴，过 F 的直线是 x=5.代入-=1，求得 y=，x2 20y2 55 2所以此时弦长=+=.5 25 25不是垂直 x 轴的，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比它长，所以这里只有一条，因为两个顶点距离=4，即左右两支上的点最短是 4，55所以如果是交于两支的话，弦长不可能为，所以只有 1 条.5二、填空题二、填空题( (每每小题小题 5 5 分，共分，共 1010 分分) )3.(2015南昌高二检测)已知双曲线-=1(a0，b0)与直线 y=2x 有交点，则双曲线的离
11、心率的取x22y22值范围是_.【解析】双曲线的渐近线方程为 y=x.b 若双曲线-=1 与直线 y=2x 有交点，x22y22则2，从而4.b b22- 9 -所以4，解得 e2=5，故 e.c2 22c225答案：(，+)54.(2015重庆高考改编)双曲线-=1(a0，b0)的右焦点为 F，左、右顶点为 A1，A2，过 F 作 A1A2x22y22的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线斜率为_.【解析】由题意知 F(c，0)，A1(-a，0)，A2(a，0)，其中 c=.a2+ 2联立x = ,2222= 1,?可解得 B，C，(c,2 ) (c, 2 )
12、所以=，=， A1(c + ,2 ) A2(c , 2 )又因为 A1BA2C，所以=(c+a)(c-a)-=0， A1 A2b42解得 a=b，所以该双曲线的渐近线斜率为1.答案：1三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分，共分，共 2020 分分) )5.(2015黄石高二检测)已知双曲线 3x2-y2=3，直线l过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长.【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.【解析】因为 a=1，b=，c=2，3- 10 -又直线l过点 F2(2，0)，且斜率
13、k=tan 45=1，所以l的方程为 y=x-2，由y = 2 32 2= 3?消去 y 并整理得 2x2+4x-7=0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 x1x2=- 0.?即-0.解得 k.k( 1)2 23 2故不存在被点 B(1，1)所平分的弦.【一题多解】设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)，N(x2，y2).则 x1+x2=2，y1+y2=2，且x2121 2= 1, 2222 2= 1. ?-得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.1 2所以 kMN=2，故直线 MN：y-1=2(x-1).y1 21 2由消去 y 得，2x2-4x+3=0，=-80.y 1 = 2( 1),22 2= 1,?这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在.
