《高中数学第三章基本初等函数（ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章基本初等函数（ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教b版必修1（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.1.13.1.1 实数指数幂及其运算实数指数幂及其运算整整体体设设计计教学分析 在初中，学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质从本节开始我们将在回顾平方 根和立方根的基础上，类比出正数的 n 次方根的定义，从而把整数指数推广到分数指数， 进而推广到有理数指数幂，再推广到无理指数幂，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到 实数指数幂 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、 类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问 题的结合，体现数学的应用价值 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计
2、算机 创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持 三维目标 1通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性 质 2掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分 析、抽象类比的能力 3掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想通过运算训练，养成学 生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲 理 4能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正 确的计算能力 重点难点 教学重点： (1)分数指数幂和根式概念的理解 (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质 (3)运用实数指数幂性
3、质进行化简、求值 教学难点： (1)分数指数幂及根式概念的理解 (2)实数指数幂性质的灵活应用 课时安排 2 课时教教学学过过程程第第 1 1 课时课时导入新课 思路 1.碳 14 测年法原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳 14，并与氧结合成 二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它2们就会不断地吸收碳 14 在机体内保持一定的水平而当有机体死亡后，即会停止吸收碳 14，其组织内的碳 14 便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失对于任何含碳物质只要测 定剩下的放射性碳 14 的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一 半)引出本
4、节课题 思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可 以推广呢？答案是肯定的这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题 推进新课 Error!Error! (1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子，并总结出规律：a0，5a105(a2)5a2a105； a8 (a4)2a4a82；4a124(a3)4a3a124；2a102(a5)2a5a102.(3)利用2的规律，你能表示下列式子吗？453，375，5a7，nxmx 0，m、n N N，且n 1. (4)你能用方根的意义来解释3的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？讨论结果：(1)整数指数幂的
5、运算性质：anaaaa，a01(a0)；00无意 义；an(a0)；amanamn；(am)namn；(an)mamn；(ab)nanbn.其中 n、mN N.1 an(2)a2是 a10的 5 次方根；a4是 a8的 2 次方根；a3是 a12的 4 次方根；a5是 a10的 2 次方根实质上a，a ，a，a结果的 a 的指5a1010 5a88 24a1212 42a1010 2数是 2,4,3,5 分别写成了， ， ，形式上变了，本质没变10 58 212 410 2根据 4 个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根 式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形
6、式)(3)利用(2)的规律，5 ，7 ，a ，x .4533 43755 35a77 5nxmm n(4)53的四次方根是 5 ，75的三次方根是 7 ，a7的五次方根是 a ，xm的 n 次方根是 x .3 45 37 5m n结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的(5)如果 a0，那么 am的 n 次方根可表示为a ，即namm na (a0，m，nN N，n1)m nnam综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：3规定：正数的正分数指数幂的意义是 a (a0，m，nN N，n1)m nnamError!负整数指数幂的意义是怎样规定的？ 你能得出负分数指数幂的意义吗？ 你认为
7、应怎样规定零的分数指数幂的意义？ 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？ 分数指数幂的意义中，为什么规定 a0，去掉这个规定会产生什么样的后果？ 既然指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，那么整数指数幂的运算性质是否 也适用于有理指数幂呢？讨论结果：负整数指数幂的意义是：an(a0，nN N)1 an既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数 的负分数指数幂的意义规定：正数的负分数指数幂的意义是 a (a0，m、nN N，n1)m n1amn1nam规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有 意义 教师板书分数指数幂的意义分数指数幂的
8、意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即nm a(a0，m、nN N)，正数的正分数指nam数幂的意义是nm a(a0，m、nN N，n1)，正数的负分数指数幂的意义是namnm a(a0，m、nN N，n1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没1amn1nam有意义 若没有 a0 这个条件会怎样呢？如31 ) 1(1，62 ) 1(1 具有同样意义的两个式子出现了截然31612不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无 a0 的条件，比如式子|a| ，同时负数开奇次方3a22 3是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到
9、根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂， 也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指 数上 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数 有理指数幂的运算性质：对任意的有理数 r，s，均有下面的运算性质： (1)arasars(a0，r，sQ Q)， (2)(ar)sars(a0，r，sQ Q)， (3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ Q)Error!思路思路 1 14例例 1 1 求值：(1) 32 8；(2) 25；(3)( )5；(4)43 )8116(.1 2活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成
10、最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8 写成 23,25 写成 52， 写成 21，写成( )4，利1 216 812 3用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来解：(1); 422)2(8232332 332 (2);5155)5(251)21(221 221 (3);322)2()21()5(1515 (4).827)32()32()8416(3)43(443 点评：本例主要考查指数幂的运算，要按规定来解在进行指数幂的运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如 8 4.2 3382364变式训练求值：3.33363解：333 3
11、3 31 329.333631 21 31 61 21 31 6例例 2 2 用分数指数幂的形式表示下列各式的 b. (1)b532；(2)b435；(3)b5n3m(m、nN N) 活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再 由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质 和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结解：(1)b51 32；532(2)b45 3；435(3)bnm 53 (m，nN N)5n3m点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是 先化为根式
12、，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算对于计算的结果，不 强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能 既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.变式训练用分数指数幂的形式表示下列各式中的 x. (1)x65；(2)x342；(3)x32.5答案：答案：(1)x61 5；(2)x32 4；(3)x32思路思路 2 2 例例 1 1 计算下列各式：(1)()；(2)(a0)325125425a2a3a2活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底利用分数指数幂计 算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先
13、化为分数指 数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则 计算，最后写出解答解：(1)21 23 32 41 21 31 5)55(25)12525(原式; 555555661 21 23 21 32 (2)a2 a .a2a3a2a2a12a2 31 22 35 66a5变式训练求下列各式的值：(1)432 981；(2)2.331.5612活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数 幂后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，对(1)应由里往外，421 34 4432 )3(3981，对(2)化
14、为同底的分数指数幂例例 2 2 计算下列各式的值：(1)(a b2)1(ab3) (b )7 ；3 21 21 21 3(2)11121 21aaaaa；6(3)()3.a3b2b4a1活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数 幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘 方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把 分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同 底数幂的运算变式训练比较，的大小53116123活动：学生努力思考，积极交流，教师引导
15、学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一 的根指数，才能进行比较，又因为根指数最大的是 6，所以我们应化为六次根式，然后，只 看被开方数的大小就可以了 解：因为，而 125123121，所以，565361253116121612561236121所以.56123311点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.Error!1(1)下列运算中，正确的是( ) Aa2a3a6 B(a2)3(a3)2 C(1)00 D(a2)3a6a(2)下列各式，Error!，(各式的 nN N，aR R)中，有意义的4(4)2n5a44a5是( ) A B C D(3)()2()2等于( )3 4a64 3a6Aa
