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1、数学驿站 数学驿站 用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程， 在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度” ，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来 证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常 见题型。一一. “添舍添舍”放缩放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例例 1. 设 a，b 为不相等的两正数，且 a3b3a2b2，求证14 3 ab。证明：由题设得 a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又 ab0，得 ab1，又 ab1 4（ab）2，而（ab）2aba
2、bab1 4（ab）2，即3 4（ab）2ab，所以 ab4 3，故有 1ab4 3。例例 2. 已知 a、b、c 不全为零，求证：aabbbbcccacaabc2222223 2（）证明：因为aabbabbababab22222 23 4222（） （），同理bbccbc22 2，cacaca222。所以aabbbbcccacaabc2222223 2（）二二. . 分式放缩分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例例 3. 已知 a、b、c 为三角形的三边，求证：12a bcb a
3、cc ab。数学驿站 数学驿站 证明：由于 a、b、c 为正数，所以a bca abc，b acb abc，c abc abc，所以a bcb acc aba abcb abcc abc 1，又 a，b，c 为三角形的边，故 b+ca，则a bc为真分数，则a bca abc2，同理b acb abc2，c abc abc2，故a bcb acc aba abcb abcc abc2222.综合得12a bcb acc ab。三三. . 裂项放缩裂项放缩若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例例 4. 已知 nN*，求n2 n131211。证明：因为
4、，则11213（）（）（）1122123221212nnnnn，证毕。例例 5. 已知*Nn且) 1n(n3221an，求证：2) 1( 2) 1(2nannn对所有正整数 n 都成立。证明：因为nnnn2) 1(，所以2) 1n(nn21an，又2) 1() 1(nnnn，数学驿站 所以2) 1n( 21n2 25 23 2) 1n(n 232 221a2n，综合知结论成立。数学驿站 数学驿站 四四. . 公式放缩公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例例 6. 已知函数1212)(xx xf，证明：对于*Nn且3n都有1)(nnnf。证明：由题意知：) 12
5、)(1() 12(2 122 11)111 ()1221 (11212 1)(nnnnnnnn nnnn nnnf，又因为*Nn且3n，所以只须证122 nn，又因为1n21n2) 1n(nn1CCCCC) 11 (2n n1n n2 n1 n0 nnn所以1)(nnnf。例例 7. 已知2x1)x(f，求证：当ab时fafbab（ ）（ ）。证明：fafbabababab abab（ ）（ ）11111122222222bababa)ba(bababa证毕。五五. . 换元放缩换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目 的。例例 8. 已知cba，求
6、证0ac1 cb1 ba1。证明：因为cba，所以可设tca，)0ut (ucb，所以0ut则0tuut t1 u1 t1 u1 ut1 ac1 cb1 ba1，即0ac1 cb1 ba1。例例 9. 已知 a，b，c 为ABC 的三条边，且有222cba，当*Nn且3n 时，求证：数学驿站 数学驿站 nnncba。证明：由于abc222，可设 a=csina，b=ccosa（a 为锐角） ，因为01sina，01cosa，则当n 3时，sinsinnaa2，coscosnaa2，所以abcaacaacnnnnnnn(sincos)(sincos)22。六六. . 单调函数放缩单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例例 10. 已知 a，bR，求证b1ba1aba1ba。证明：构造函数)0x(x1x)x(f，首先判断其单调性，设21xx0，因为0)x1)(x1 (xx x1x x1x)x(f)x(f21212211 21，所以 21xfxf，所以)x(f在, 0 上是增函数，取bax1，bax2，显然满足21xx0，所以|)b|a(|f)ba(f，即|b|1|b| |a|1|a| |b|a|1|b| |b|a|1|a| |b|a|1|b|a| |ba|1|ba| 。证毕。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
