《同济高等数学第五版课后答案5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济高等数学第五版课后答案5（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、?习题 51 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面 积. 解 第一步: 在区间a, b内插入 n1 个分点inabaxi+=(i=1, 2, , n1), 把区间a, b分成 n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nabxi=(i=1, 2, , n). 第二步: 在第i个小区间xi1, xi (i=1, 2, , n)上取右端点inabaxii+=, 作和 nabinabaxfSniiinin+= = 1)()(211 =+=niinabinabaanab12 22 2 1)()(2 6) 12)(1()( 2) 1()
2、(2)(22 2nnnnnabnn nabananab+= 16) 12)(1()() 1)()(22 2+=nnnab nnabaaab. 第三步: 令=maxx1, x2, , xnnab=, 取极限得所求面积 =niiibaxfdxxfS 10)(lim)( 16) 12)(1()() 1)()(lim22 2+= nnnab nnabaaab nababababaaab+=+=)(31 1)(31)()(3322. 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(a0, 所以函数 f(x)=x arctan x 在区间3 , 31上单调增加. 于是 3631arctan 31) 31(=
3、fm, 33arctan3)3(= fM. 因此 ) 313( 3arctan) 313( 36331xdxx, 即 32arctan9331xdxx. (4)先求函数在区间0, 2上的最大值 M 与最小值 m. xxexf=2)(, 驻点为) 12()(2=xexfxx 21=x. 比较f(0)=1, f(2)=e 2, 41 )21(=ef,得41=em, M=e 2. 于是 )02()02(220412edxeexx, 即 41022222edxdxeexx. ?7. 设 f(x)及 g(x)在a, b上连续, 证明: (1)若在a, b上, f(x)0, 且, 则在a, b上 f(x)
4、0; 0)(=badxxf(2)若在a, b上, f(x)0, 且 f(x)0, 则; 0)(badxxf(3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 则在a, b上 f(x)g(x). =babadxxgdxxf)()(证明 (1)假如f(x)0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在a, b上的连续性, 在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, 2)()(0xfxf. 于是 0)(2)()()()()()(0+=cdxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdc
5、bddccaba. 这与条件相矛盾. 因此在a, b上 f(x)0. 0)(=badxxf(2)证法一 因为f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, 2)()(0xfxf. 于是 badccdxfdxxfdxxf0)(2)()()(0. 证法二 因为 f(x)0, 所以. 假如不成立. 则只有, 0)(badxxf0)(badxxf0)(=badxxf根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此. 0)(badxxf(3)令 F(x)=g
6、(x)f(x), 则在a, b上 F(x)0 且 , 0)()()()()(=babababadxxfdxxgdxxfxgdxxF由结论(1), 在a, b上 F(x)0, 即 f(x)g(x). 4. 根据定积分的性质及第 7 题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)还是？ 102dxx103dxx(2)还是？ 212dxx213dxx(3)还是？ 21lnxdx212)(lndxx?(4)还是？ 10xdx+10)1ln(dxx(5)还是？ 10dxex+10)1 (dxx解 (1)因为当 0x1 时, x2x3, 所以. 103102dxxdxx又当 0x3, 所以. 10310
7、2dxxdxx(2)因为当 1x2 时, x2x3, 所以. 213212dxxdxx又因为当 1(ln x)2, 所以. 21221)(lnlndxxxdx(4)因为当 0x1 时, xln(1+x), 所以. +1010)1ln(dxxxdx又因为当 0ln(1+x), 所以. +1010)1ln(dxxxdx(5)设f(x)=ex1x, 则当0x1时f (x) =ex10, f(x)=ex1x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)=0, 即ex1+x, 所以. +1010)1 (dxxdxex又因为当 01+x, 所以. +1010)1 (dxxdxex?习题 52 1. 试
8、求函数当 x=0 及=xtdty 0sin4=x时的导数. 解 xtdtdxdyxsinsin 0=, 当 x=0 时, y=sin0=0; 当4=x时, 22 4sin=y. 2. 求由参数表示式, 所给定的函数 y 对 x 的导数. =tudux 0sin=tuduy 0cos解 x(t)=sin t , y(t)=cos t , ttxty dxdycos)()(=. 3. 求由所决定的隐函数 y 对 x 的导数=+xyttdtdte 000cosdxdy. 解 方程两对 x 求导得 0cos=+xyey, 于是 yex dxdycos=. 4. 当 x 为何值时, 函数有极值？ =xt
9、dttexI 02)(解 , 令 I (x)=0, 得 x=0. 2)(xxexI=因为当 x0 时, I (x)0, 所以 x=0 是函数 I(x)的极小值点. 5. 计算下列各导数: (1)+2021xdttdxd; (2)+32411xxdt tdxd; (3)xxdttdxdcossin2)cos(. ?解 (1)dxdudttduduxdttdxdux+=+02202112令421221xxxu+=+=. (2)+ += +323204044111111xxxxdt tdxddt tdxddt tdxd+ +=3204041111xxdt tdxddt tdxd)( )(11)( )
10、(11343242 + +=x xx x12281312xxxx+ +=. (3)+=xxxxdttdxddttdxddttdxdcos02sin02cossin2)cos()cos()cos( )(coscoscos()(sinsincos(22+=xxxx )coscos(sin)sincos(cos22xxxx= )sincos(sin)sincos(cos22xxxx= )sincos(sin)sincos(cos22xxxx+= )sincos()cos(sin2xxx=. 6. 计算下列各定积分: (1); +adxxx 02) 13(解 aaaxxxdxxxaa+=+=+23 0
11、2302 21| )21() 13(. ?(2)+2142)1(dxxx; 解 852)11 (31)22(31| )31 31()1(33332 1332142=+xxdxxx. (3)+94)1 (dxxx; 解 9 4223942194| )21 32()()1 (xxdxxxdxxx+=+=+6145)421432()921932(223223=+=. (4)+33121xdx; 解 66331arctan3arctanarctan13313312=+xxdx. (5) 212121xdx; 解 3)6(6)21arcsin(21arcsinarcsin 1212121212= x x
12、dx. (6)+axadx3022; 解 aaaax axadxaa30arctan13arctan1arctan1303022=+. (7) 1024xdx; 解 60arcsin21arcsin2arcsin 410102= xxdx. ?(8)dxxxx+012241133; 解 0 13012201224 | )arctan()113(1133 +=+=+xxdxxxdxxxx41) 1arctan() 1(3+=. (9)+211exdx; 解 1ln1ln|1|ln12 121=+=+ exxdx ee. (10)402tan d; 解 4144tan)(tan) 1(sectan
13、4 0402402 =dd. (11); dxx20|sin|解 =2020sinsin|sin|xdxxdxdxx20coscosxx+=cos +cos0+cos2cos=4. (12), 其中20)(dxxf + =1 211 1 )(2xxxx xf. 解 38| )61(| )21(21) 1()(2 131 022121020=+=+=xxxdxxdxxdxxf. 7. 设 k 为正整数. 试证下列各题: (1); =0coskxdx(2); =0sinkxdx(3); =kxdx2cos?(4). =kxdx2sin证明 (1) = 000)(sin1sin1|sin1coskkkkkxkkxdx. (2)(cos1cos1cos1sin+=kkkkxkkkxdx 0cos1cos1=+=kkkk. (3) =+=+=+=22| )2sin21(21)2cos1 (21cos2kxkxdxkxkxdx. (4) =+=22| )2sin21(21)2cos1 (21sin2kxkxdxkxkxdx. 8. 设 k 及 l 为正整数, 且 kl . 试证下列各题: (1); =0sincoslxdxkx(2); =0coscoslx
