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1、北京师范大学复杂系统暑期学校量子客体上的博弈：从大学理科二年级到研究前沿的 一个演示吴金闪北京师范大学管理学院系统科学系July 19, 2011J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校1 / 14带领大家翻越那一座座山，领略那旖旎的风光提纲1基础：线性代数、概率论、力学的思想2经典概率论的密度矩阵形式3量子力学简介（态叠加原理与密度矩阵）4量子博弈的定义5量子博弈之于经典博弈6可供研究的问题7致谢，参考文献J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校2 / 14准备知识的准备知识线性代数1有限维矢量空间，基矢，分量，新的符号（Dirac记号）。以二维矢 量空间为例，取正交归一基矢|1
2、i =?1 0? , |0i =?0 1? ,(1)任意矢量可以做展开，? ? = |1i + |0i.(2)矢量之间的内积可以通过（复）共轭转置来计算，例如，|1i的共轭 转置（记为h1|）为h1| =?10?,(3)因此，h1| 1i = 1，h1| 0i = 1。2矩阵的本征值和本征矢量，不同本征值所对应的本征矢量相互正 交，所有本征矢量的集合可以做为空间的正交归一基矢，基矢的选 择不唯一。例如可以取|,i =|1i|0i2。J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校3 / 14准备知识的准备知识经典概率论1离散事件的概率（经典概型），基本事件 = 1,2，观测 量A|R。通常记号：
3、状态矢量与观测量P =?p1 p2? , A =?a1 a2? .(4)期望hAi = ATP =Xiaipi.(5)2新的符号：状态的密度矩阵记号与观测量的矩阵 =?p10 0p2? , A =?a10 0a2? .(6)期望hAi = tr (AP) =Xiaipi.(7)J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校4 / 14准备知识的准备知识力学1力学的基本思想： 运动学：描述物体的状态，状态的变化 动力学：什么导致的状态的变化2例子，硬币的状态与翻硬币 最一般的硬币状态：0=?p10 0p2? (8)硬币状态的变化，翻的操作记为X =?01 10? ，作用X |1i = |0i等等
4、。一般而言，f= X0X(9)观测量，正面赢钱，A =?10 01? ，则收益为EA= tr (A).(10)J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校5 / 14准备知识量子力学1量子态：Hilbert矢量空间H，密度矩阵（ N (H)）2状态的演化（幺正算符，U U (H)）与物理量（厄米算 符，H O(H)）的平均值：f= U0U,(11)E = tr(H).(12)3态叠加原理：|i,|i H,|i + |i H。思思思考考考：硬硬硬币币币能能能处处处 于于于|1i + |0i吗吗吗？。这一性质导致密度矩阵的非对角元：例子，处 于x方向向上态的自旋：12?1 1? q=1 2?11
5、 11? .(13)J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校6 / 14准备知识量子力学与经典概率论对比1经典概率论的矩阵形式：对角化的密度矩阵，方程(9)和(10)与方 程(11)和(12)一样。例子，处于正反各半的硬币：c=1 2?10 01? =1 2|1ih1| +1 2|0ih0|.(14)2量子态|i =|1i+|0i2，q=1 2?11 11? =1 2(|1ih1| + |1ih0| + |0ih1| + |0ih0|).(15)3“|1ih0|”称为非对角元，是量子力学区别于经典力学的唯一地方。4为什么量子力学的数学形式是这样的，不讲，达到真正理解量子力 学，唯一还要搞
6、懂的问题。J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校7 / 14准备知识经典博弈1博弈：多个体的有利益冲突的决策行为，行为预测，机制设计2博弈的解：纯策略与混合策略，混混混合合合策策策略略略Nash均均均衡衡衡的的的存存存在在在性性性3例子：翻硬币游戏的通常的抽象定义：c=?S1 S2,G1,2?， 策略（S1,2= I,X，对应不翻，翻） 支付矩阵（G1,2）G1=IX I11 X11= G2,(16)收益（E1,2）Ei=?P1?TGiP2,(17)其中Pi为参与者i的混合策略几几几率率率分分分布布布矢矢矢量量量。例如P1=?p1 1 p1? .(18)J. Wu (BNU)量子博弈复
7、杂系统暑期学校8 / 14准备知识经典博弈续1翻硬币游戏的操作性定义：c=?c 0,U (H) U (H),L,G1,2?初态，c0 H，初态向上c=?10 00?操作，S1,2= U (H),S = S1 S2，S = I,X 算符操作，L| : S U (H)，L?s1,s2?= s2s1，1先2后 收益函数，?G1,2?G1=?10 01? = G2(19)则收益为Ei= tr?Lc0LGi?.(20)2操作性定义和通常抽象定义是完全等价的。J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校9 / 14量子客体上的博弈量子博弈的操作性定义1把硬币换成自旋，当作博弈的客体2量子博弈的操作性定义
8、q=?q0,U (H) U (H),L,G1,2?，与经典博弈的操作性定义相同，唯一的不同在于q0代替了c0。3第一个不同：纯策略集更大了1，Z2 SU (2)。4经典博弈也可以有无穷多个（或者连续的）纯策略。混合策略在博 弈论中有特殊的地位。5什么是量子混合策略：更大策略集上的概率分布？来自传统经典博 弈论研究者的批评2。J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校10 / 14量子客体上的博弈经典与量子博弈的新的抽象定义1看不见客体，只看见策略，混混混合合合策策策略略略2经典博弈的新的抽象定义，c,new=?S1 S2,H1,2?，混合策 略：c= c,1 c,2，收益：E1,2= tr
9、?cH1,2?。例子，翻硬币：c,i=?pi0 01 pi? ,H1=1 1 1 1= H2(21)3量子博弈的抽象定义：q,new=?S1 S2,H1,2?,(22)混合策略：q= q,1 q,2，收益：E1,2= tr?qH1,2?。非非非对对对角角角 的的的q与与与非非非对对对角角角的的的H1,2，真真真正正正的的的不不不同同同。J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校11 / 14量子客体上的博弈例子：量子翻硬币博弈（自旋博弈）1量子混合策略：密度矩阵和支付矩阵的非对角元，无穷个事件上的 几率分布函数之于有限维密度矩阵，量子力学之于经典力学2原因：策略的叠加原理。经典策略I +
10、X不是东西，但是量子策 略I+iX2 SU (2)，是一个有意义的策略。（出现这样的混合策 略：i |I)(X|）。3例子，翻自旋：H1=100101i00i101001 01i01001i00i01i0 0i10i00i10010i10 100101i00i101001 01i01001i00i01i0 100101i00i101001 i00i0i1001i0i00i 01i01001i00i01i0 0i10i00i10010i10 i00i0i1001i0i00i 100101i00i101001 0i10i00i10010i10 100101i00i101001 01i01001i0
11、0i01i0 0i10i00i10010i10 100101i00i101001.J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校12 / 14展望量子博弈进一步研究的方向1纠缠的量子客体初态2纠缠的博弈者，用量子态作为策略的载体，以及这样做的问题3更加广义的策略，局部测量，Si U (H)4密度矩阵形式（而不是概率分布形式的）的Nash均衡？5趋向均衡的道路，演化量子博弈问题J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校13 / 14参考文献，致谢Final Take-Home Message：量子博弈之于经典博弈就是 量子力学之于经典力学参考文献1D.A. Meyer, Quantum St
12、rategies, Phys. Rev. Lett. 82(1999), 1052-1055.2S.J. van Enk and R. Pike, Classical rules in quantum games, Phys. Rev. A 66(2002), 024306.3J. Wu, Hamiltotian Formalism of Game Theory, arXiv: quant-ph/0501088.4H. Guo, J. Zhang and G.J. Koehler, A survey of quantum games, Decision Support Systems, 46(2008), 318-332.致谢感谢会议暑期学校的组织者得益于与裴寿镛老师的诸多讨论J. Wu (BNU)量子博弈复杂系统暑期学校14 / 14
