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1、P. 81 Hong Kong Mathematics Olympiad (2012 / 2013) Final Event 1 (Group) 香港数学竞赛香港数学竞赛 (2012 / 2013) 决赛决赛项目项目 1 (团体团体) 除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。 Unless otherwise stated, all answers should be expressed in numerals in their simplest forms. 1. 求 (213+1)(214+1)(215+1)(216+1) 的个位数字。 Find the unit digit of (
2、213+1)(214+1)(215+1)(216+1). 2. 求 16(0.400.41 0.42.0.59) 的值的整数部分。 Find the integer part of 16(0.400.41 0.42.0.59). 3. 从 1、2、4、6、7 中选三个数字组成三位数。这些三位数有多少个能被 3整除？ Choose three digits from 1, 2, 4, 6, 7 to construct three-digit numbers. Of these three-digit numbers how many of them are divisible by 3? 4.
3、 用 1、2、3、4、5、6组成一个 6 位数：ABCDEF，使得：A能被 1整除，AB 能被 2整除，ABC 能 被3整 除 ，ABCD能 被4整 除 ，ABCDE能 被5整 除 ， 及 ABCDEF能被 6整除。求 A的最大值。 Using numbers: 1, 2, 3, 4, 5, 6 to form a six-digit number: ABCDEF such that A is divisible by 1, AB is divisible by 2, ABC is divisible by 3, ABCD is divisible by 4, ABCDE is divisib
4、le by 5 and ABCDEF is divisible by 6. Find the greatest value of A. P. 82 Hong Kong Mathematics Olympiad (2012 / 2013) Final Event 2 (Group) 香港数学竞赛香港数学竞赛 (2012 / 2013) 决赛决赛项目项目 2 (团体团体) 除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。 Unless otherwise stated, all answers should be expressed in numerals in their simplest form
5、s. 1. 若 43444r是一平方数，其中 r 是正整数，求 r 的最小值。 If 34444r is a perfect square and r is a positive integer, find the minimum value of r. 2. 三男 1B、2B、3B 和三女 1G、2G、3G 就坐一排座位，并满足以下两个条件: 1) 一男不会坐在另一男旁边及一女不会坐在另一女旁边 2) 1B 必须坐在 1G 旁边 若 s 是这样就坐的排列数量，求 s 的值。 Three boys 123, , BBB and three girls 123, , GGG are to be
6、seated in a row according to the following rules: 1) A boy will not sit next to another boy and a girl will not sit next to another girl 2) Boy 1B must sit next to girl 1G If s is the number of different such seating arrangements, find the value of s. 3. 设 2( )1 2xaf x x ，x为实数且( )f x 的最大值和最小值分别是 21和
7、 1。若(0)tf, 求 t 的值。 Let 2( )1 2xaf x x , where x is a real number and the maximum value of ( )f x is 1 2and the minimum value of ( )f x is 1. If (0)tf, find the value of t. P. 83 4. 如图一，ABC 是一等腰三角形，其中ABCu，ABBCa 和 ACb。若二次方程 022abxax 有两个实根，它们的绝对差为2，求u的值。 In Figure 1, ABC is an isosceles triangle withAB
8、Cu, ABBCa andACb. If the quadratic equation 022abxax has two real roots, whose absolute difference is2, find the value of u. C a a B A u b 图图一一 Figure 1 P. 84 Hong Kong Mathematics Olympiad (2012 / 2013) Final Event 3 (Group) 香港数学竞赛香港数学竞赛 (2012 / 2013) 决赛决赛项目项目 3 (团体团体) 除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。 Unless
9、 otherwise stated, all answers should be expressed in numerals in their simplest forms. 1. 若 m 和 n 是正整数且 4322nm，求 33nm 的值。 If m and n are positive integers with 2243mn, find the value of 33mn. 2. 设 1x、2x、10x 为 非 零 整 数 ， 且 满 足21ix 其 中i = 1、2、10。 若11.1021xxx，求 2 102 22 1.xxx 的最大可能值。 Let 1210, , , xxx
10、be non-zero integers satisfying12 for 1, 2, , 10ixi . If 121011xxx, find the maximum possible value for 222 1210xxx. 3. 若 nnbanf)(，其中 n 是正整数且 ) 1 ()1 () 3(3fff，求 a b 的值。 If ( )nnf nab, where n is a positive integer and 3(3)(1)(1)fff, find the value of a b. P. 85 4. 如图二，AD，BC 和 CD 是以 O 作圆心且直径 12AB 的圆
11、的切线。若 4AD，求 BC 的值。 In Figure 2, AD, BC and CD are tangents to the circle with centre at O and diameter12AB . If 4AD, find the value of BC. O D C B A 图图二二 Figure 2 P. 86 Hong Kong Mathematics Olympiad (2012 / 2013) Final Event 4 (Group) 香港数学竞赛香港数学竞赛 (2012 / 2013) 决赛决赛项目项目 4 (团体团体) 除非特别声明，答案须用数字表达，并化至
12、最简。 Unless otherwise stated, all answers should be expressed in numerals in their simplest forms. 1. 若 P 为整数 3,659,893,456,789,325,678与 342,973,489,379,256的乘积，求 P的位数。 If P be the product of 3,659,893,456,789,325,678 and 342,973,489,379,256, find the number of digits of P. 2. 若11174420134x，求201318724
13、82013x x的值。 If 11174420134x, find the value of 20131872482013x x. 3. 有一个正整数被 10除，余数为 9；被 9除，余数为 8；被 8除，余数为 7；等等直至被 2 除，余数为 1。求此正整数的最小值。 The remainders of a positive integer when divided by 10, 9, 8, , 2 are 9, 8, 7, , 1, respectively. Find the smallest such positive integer. 4. 如图三，A、B、C、D、E 代表不同的个位数字。求ABCDE的值。 In Figure 3, A, B, C, D, E represent different digits. Find the value of ABCDE. 910ABCDEAAA E图图三三 Figure 3
