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1、2-3、差分格式稳定性分析法、 一、离散扰动的稳定性分析 理论基础；误差传播特性；归纳法例；22xu tu FTCS 格式n jn jn jn jn juuuxtuu1121 2 n jn jn jn jsuussuu11121设初始扰动（误差）为： mjmj j00则 1ntt时sm1 1sm211sm1 1为了使则要求 及 1maxi1s10121ss再计算 2 j22 2sm22 142ssm22641ssm2maxj142122sss16412ss320s当，误差分布可能出现的情况如下；tnt（1） （2）（3）以此误差分布，从 n 时间步计算到时间步，并要求在时间层上：1n1n1ma
2、xn j.014121ss这个最后条件，如第一步计算中，附加误差修正不过冲的条件21 so即 。但“不过冲”与误差传播振幅不扩大的含义并不2121sso一致。m-1 m m1 m-1 m m1 m-1 m m1 二、矩阵法（谱分析法） 一个更严格的关于初值问题差分格式稳定性分析的方法是矩阵法。解是一个解向量，经过后解的改变由 A 是一个变换矩阵，分析变换矩tn jnUAU1阵的性质，讨论解的性质变化。 （仍讨论上述的例子）但 n Jnnn1210, 00n Jnnnn iss21121n jn jn jn jsss11121MMn Jn Jn Jss121 121 nnA1) 1() 1(21
3、21212121JJsssssssssssssA为了满足的最大值，经矩阵相乘后，其幅度不增大，从线性代数的分析可知，其 1 n必要条件是：矩阵的谱半经不大于 1；（谱半径的定义是，矩阵的所有特征值中的绝 A对值的最大值。 ） 01121 nnnnAAAonnA 11一致有界的充要条件是 A 的谱半经nA1 设：A 的特征值为；121 JmLL相应的特征向量； （m=1,2,，J-1）mvrmmmvvArr mmJmvCr110 由此 mmmJmmmJmmmJmovCvACvCAArrr1111111 112111112JmmmmJmmmmJmmmmvCvACvCAArrr递推; 011)(n
4、AJmmn mmnvC r1 A要求线性代数中关于求三对角矩阵特征值的定理：设矩阵 A 为 M 阶的三对角矩阵，即： MMbacbacbacbA 则 A 的特征值为 1cossgn2 Mm maccb利用该定理，A 的特征值是： JmsJmssssJmJm m2sin412sin221)cos1 (21cos22122 1m1sin4122 Jms210 s三,Von. Neumann 稳定性分析性,基本思想:分析差分数值解的耗散特性,判断数值解的是否有界的特性；(或曰差分方程对误 差的传播性质)初始解(初始误差)利用 Fourier 展开成 Fourier 级数 jikxo kko jeA
5、线性问题中,通过分析任意一个 Fourier 分量解的性质特性;数值解有界（或初始误差在传播过程中不扩大） ，则要求层间放大因子（放大矩阵）onnnGG L1要求解有界：所以 ，放大矩阵（因子）一致有界性 1nG1 G若：G 为复数，则： GG 1 GG 为矩阵 1 G1)( G此处引入的层间放大因子故可设,1nn G 等。ikxn knikxn kneAeA11 例 1；0 xuaxuLax-Wendroff 格式 n jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn juuucuucuuuuxtauuxtauu1121111222111222222 sincos112
6、 iccGxk ) 1()cos1 (1sincos112222222 ccccG由 即： 1 G1) 1()cos1 (1222 cc容易解出 是的必要条件，即 Von-Neumann 分析的稳定性条件是1 c1 G。1 c例 2、22xuvxuatu FTCS 格式； 21111122tuuuvtuuatuun jn jn jn jn jn jn j 设:)( 111xxikn kn jikxn kn jikxn kn jjjjeAueAueAu 代入整理，并求得到n kn k AAG1 sin1cos21sin1cos21 icsxkicxksG ,2xtvs 在复平面上是表示实半轴为
7、2S，虚半轴为 sin1cos21icsG C 的椭圆要求即所有椭圆上的点均应在单位园之内。1 G显然应：2112 ss11CC另对于椭圆： 12222 by ax其顶点的曲率半经分别为； ab ba22 但在，的条件下，FTCS 格式将产生伪振荡。伪振荡并非数Cx2Re2 值计算的不稳定！其实质是格式的非单调性所引起的。若 将格式写成：, 2Rex2s10 n jxn jn jxn jcn jn jcn jususususususu1112121Re2221Re2221 当，格式是单调的（见单调格式一样）2Re x而 时，格式是非单调的。可能出现数值解的伪振荡。2Re x例：定解条件如下：初
8、值： 1000 , xxu边值： 11), 1 (00), 0(111 nnutuutu简单地，选用 11 个网格布局，第一个时间步时，仅有第 10 个网格点地值为非零。 xnnn xnsusususuRe22Re2221Re22910111 10 因： 则 2Rex01 10 nu例 c=0.4 s=0.1 54Re4, 02x1 . 01 10 nu继续计算 01. 02 9 nu18. 02 10 nuThe wiggles will eventually propagate to the other boundary but will remain bounded throughout
9、 the iteration to steady state. The oscillations that occur in this case are similar to the oscillations which appear when a second-order (or higher ) scheme in used to solve the inviscid Burgers equation for a propagating discontinuity.例 3,方程组问题的稳定性分析 oxwatuoxubtwxtbcxtac 21Lax-Wendroff 格式： n jn jn
10、 jn jn jn jn juuuccwwcuu1121 1111222 n jn jn jn jn jn jn jwwwccuucww1121 1121222 jjikxn wkn jikxn ukn jeAweAu1111写成向量 n wn un AAAn wn un uAicAccAsinsin21222 211n wn un wAccAicA22 2111sin21sin nnAGA1 2sin21sinsinsin212 211222 21 cciciccc G稳定条件： 即 1G 1G求 G 的特征值 0sin21sinsinsin212 21122 21 ccicicccsinsin212122 212, 1ccicc2 212 22 212sin)sin21 (cccc24 2121sin141cccc时 121cc若 为稳定性条件ba 121 cc例 4；非线性问题的局部线化稳定性分析非线性方程Burger 221 xu Rxuutue差分方程可由守恒或非守恒方程出发写出；等价守恒方程为 2221)2(xu Rxutue 预测步 n jn jn j en jn jn jjuuuxRtuuxtuu11222 1*222
