《正态分布 t分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正态分布 t分布（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015/4/8 1 正态分布、正态分布、t 分布分布 164 175 170 163 168 161 177 173 165 164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161 174 177 175 168 181 155 178 164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 168 169 159 174 167
2、171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172 171 159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185 157 174 169 182 167 165 172 171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172164 168 173 166 172 161 178 162 1
3、72 179 161 160 175 169 169 175 161 155 179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182156 182 18284):cm从从某某中中学学男男生生中中随随机机抽抽取取出出名名，测测量量身身高高，数数据据如如下下（单单位位：上述数据的分布有怎样的特点？上述数据的分布有怎样的特点？频数分布表与频数分布图频数分布表与频数分布图 组段组段 频数频数 频率频率 （%） 累累计计频率频率 （%） 频频率率/组距组距 (概率密度概率密度) 153.5157.5 5 5.95 5.95 0.015 157.5161.5 8 9
4、.52 15.47 0.024 161.5165.5 10 11.90 27.38 0.030 165.5169.5 15 17.86 45.24 0.045 169.5173.5 18 21.43 66.67 0.054 173.5177.5 15 17.86 84.52 0.045 177.5181.5 8 9.52 94.05 0.024 181.5185.5 5 5.95 100.00 0.015 频数分布表频数分布表 某中学男生身高频数分布表某中学男生身高频数分布表 频率分布图（直方图）频率分布图（直方图） 身高身高 （cm) ) 频率频率 组距组距 100名中学男生身高的名中学男生
5、身高的频率分布直方图频率分布直方图 身高身高 （cm) ) 频率频率 组距组距 200名中学男生身高的频率分布直方图名中学男生身高的频率分布直方图 身高身高 （cm) ) 频率频率 组距组距 2015/4/8 2 样本容量增大时频率分布直方图样本容量增大时频率分布直方图 频率频率 组距组距 身高身高 ( (cm) ) 身高身高 （cm） 数据无限增多组距无限缩小，那么数据无限增多组距无限缩小，那么频率分布直方频率分布直方 图的顶边近似成一条光滑的曲线，我们称此曲线为图的顶边近似成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概概 率密度曲线。率密度曲线。 概率密度曲线概率密度曲线 概率密度曲线概率密度曲线的形
6、状特征：的形状特征： “中间高，两头低，中间高，两头低， 左右对称左右对称” 频率频率 组距组距 正态曲线正态曲线(normal curve) 是一条高峰位于中央，两侧逐是一条高峰位于中央，两侧逐 渐下降并完全对称，曲线两端渐下降并完全对称，曲线两端 永远不与横轴相交的“钟型”永远不与横轴相交的“钟型” 曲线。曲线。 正态分布（正态分布（normal distribution）是一种很重要的连续）是一种很重要的连续 型随机变量的概率分布。实际中许多随机现象都服从或型随机变量的概率分布。实际中许多随机现象都服从或 近似服从正态分布。近似服从正态分布。 在生产中在生产中，正常生产条件下各种产品的质
7、量指标；，正常生产条件下各种产品的质量指标； 在生物学中在生物学中，同一物种的某一特征；，同一物种的某一特征； 在气象中在气象中，某地每年八月份平均气温，某地每年八月份平均气温/ /湿度以及降雨量等；湿度以及降雨量等； 在医学中在医学中，身高、体重、脉搏、血红蛋白、血清总胆固醇等。身高、体重、脉搏、血红蛋白、血清总胆固醇等。 总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及 科学技术的许多领域中，在概率和统计中占有科学技术的许多领域中，在概率和统计中占有 重要地位。重要地位。 一、正态分布的定义及其性质一、正态分布的定义及其性质 （一）正态分布的定义（一）正态分布的
8、定义 若连续型随机变量若连续型随机变量 的概率密度函数为：的概率密度函数为： 其中其中 为均值，为均值， 为标准差，则称随机变量为标准差，则称随机变量 服从正态分布服从正态分布(normal distribution)(normal distribution)，记为，记为: : 222)(21)(x exf),(2Nxxx正态分布的正态分布的 两个参数两个参数 0 f(x) x （二）正态曲线的特征（二）正态曲线的特征 具有具有中间高、两头低、左右对称中间高、两头低、左右对称的的基本特征基本特征 2015/4/8 3 0 1 2 -1 -2 x -3 = -1 =0.5 0 1 2 -1 -2
9、 x -3 3 =0 =1 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 =1 =2 （1 1）曲线在）曲线在x 轴的上方，与轴的上方，与x 轴永不相交轴永不相交 （2）曲线是）曲线是单峰单峰的的,它关于直线它关于直线 x=对称对称 （3）曲线在）曲线在 x= 处达到峰值处达到峰值(最高点最高点) （4）曲线与）曲线与横轴横轴 x所夹面积为所夹面积为1 （三）正态曲线的性质（三）正态曲线的性质 1 1 22x= x= x= 222)(21)(x exf1-6-5-4-3-2-10123456不同均数不同均数 （5 5）方差相等、）方差相等、均数不等均数不等的正态分布图的正态分布图 均值均值 反
10、映随机变量的反映随机变量的平均水平（位置参数）平均水平（位置参数），向，向右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。 =0.5 =-1 =0 =1 -3-2-10123（6 6）均数相等、）均数相等、方差不等方差不等的的正态分布图正态分布图 标准差标准差 反映随机变量的反映随机变量的分散程度（形状参数），分散程度（形状参数）， 越大曲线越越大曲线越“矮胖矮胖”，表示分布，表示分布越分散越分散； 越小曲线越小曲线越越“瘦高瘦高”，表示分布，表示分布越集中越集中。 不同方差不同方差 =0.5 =1 =2 =0 （四）正态曲线下的概率（面积）规律（四）正态曲
11、线下的概率（面积）规律 若若 , , 则对于任何实数则对于任何实数a、b, , 正态曲正态曲 线与横轴所夹面积即为概率：线与横轴所夹面积即为概率： ),(2NxbaxbadxedxxfbxaP222)(21)()(a b f(x) 2015/4/8 4 规律如下：规律如下： 正态曲线与正态曲线与x 轴所夹面积恒等于轴所夹面积恒等于1 1 对称区域概率相等对称区域概率相等 P(- ,-x)P(x,+ ) -x x 1)()(dxxfxP-x1 -x2 x2 x1 P(-x1, -x2)P(x2, x1) -3 -2 - + +2 +3 68.26% 95.44% 99.74% -3-2-1012
12、3区区 间间 概率取值概率取值 （， 68.3% （2，2 95.4% （3，3 99.7% 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.64.6，在，在 以外以外 取值的概率只有取值的概率只有0.30.3。 2,2 3,3二、标准正态分布二、标准正态分布 由上述正态分布的特征可知，正态分布是由上述正态分布的特征可知，正态分布是依赖于参数依赖于参数 和和 2 2( (或或 ) )的一簇分布，正态曲的一簇分布，正态曲线的位置及形态随线的位置及形态随 和和 2 2的不同而不同。这就的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难，需将一般给研究具体的
13、正态总体带来困难，需将一般的正态分布的正态分布 N( ( , , 2) ) 转换为转换为 =0,=0, 2 2=1=1 的正态的正态分布。分布。 我们称我们称 = =0, , 2= =1 的正态分布为标准正态分的正态分布为标准正态分 布布( (standard normal distribution) )。 标准正态分布的概率密度函数记作标准正态分布的概率密度函数记作 ( (z z) )： 随机变量随机变量z z 服从标准正态分布，记作服从标准正态分布，记作 z zN( (0,1) ) 标准正态分布对应的分布函数记作标准正态分布对应的分布函数记作( (z z) )： 2221)(z ezzt dtez2221)(对于任何一个服从正态分布对于任何一个服从正态分布N( ( , , 2) )的随机的随机变量变量 x，都可以通过标准化变换：，都可以通过标准化变换： z z = = ( (x-) )/ / 将其变换为服从标准正态分布的随机变量将其变换为服从标准正态分布的随机变量z z，z zN( (0,1) )。 2015/4/8 5 三、标准正态分布的概率计算三、标准正态分布的概率计算 设设z z 服从标准正态分布，则服从标准正态分布，则 z z 在（在（z z1 1,z ,z2 2 区间区间内取值的概率为：内取值的概率为： 而而
