椭圆与它的标准方程

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1、椭圆与它的标准方程教学目标：（1）掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念；能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步 掌握求椭圆标准方程的方法。（2）在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中， 提高学生学习能力。（3）培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。 教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。 教学难点：椭圆定义和椭圆标准方程的联系。 教学方法：启发式。 教学手段：运用多媒体技术和实物投影仪。 教学过程：引言：曲线是一种空间图形，方程是一种数量关系。探索和研究直线方程与圆方程的 过程告诉我们：当曲线上的点所成的集合与方程的解所成的集合建立一一对应后，形与数 就密切联

2、系起来了。于是关于曲线性质的几何问题与关于曲线方程的代数问题就可以相互 转化了。通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的 动点运动轨迹，引入研究课题：椭圆与它的标准方程。根据椭圆的形成过程，请学生给出椭圆定义。利用求轨迹方程的思想方法，根据椭圆定义探索椭圆的轨迹方程。概念辨析：抓住形（椭圆）与数（椭圆的标准方程）的内在联系。例：已知椭圆的焦距是 6，椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于 10，写出椭圆的标 准方程。解题思考：无法确定焦点位置时，应分情况进行讨论。挑战：同桌俩人能否围绕椭圆定义和椭圆的标准方程，商量后出一道练习题？（学生商量出题，教师巡视指导）选择

3、有代表性的练习题，进行全班交流，教师点评。例 2、太平洋上有 A、B 两个岛屿，B 岛在 A 岛正东 40 海里处。经多年观察研究发现， 某种鱼群洄游的路线象一个椭圆，其焦点恰好是 A、B 两岛。曾有渔船在距 A 岛正西 20 海里处发现过鱼群。某日，研究人员在 A、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测 信号（传播速度相同） ，A、B 两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5:3，你能否判断鱼群此 时的位置？（请学生议论后发言，教师点评。 ）课堂小结：（1）数学知识；（2）数学思想；（3）研究动点运动规律，探索曲线方程，解决实际问题过程给我们的启示。作业：（1）阅读：教材第 42-44 页；（

4、2）练习：必做题：数学练习册第 11 页-2（1） （2） （5） （8） ，4；选做题：已知椭圆方程为 ，F1、F2 为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF2120，求F1PF2 的面积。（3）实践：利用椭圆定义，设计制作一个画椭圆的简易工具。 教学流程：= 说课 =说课提纲： 一、对教学目标和教学内容的认识：本节课内容是高二数学第十一章圆锥曲线第四节椭圆与它的标准方程中的第 一课时（共两课时） ，包含椭圆的定义、椭圆的标准方程等概念。本节课是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的 直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性

5、质” 的解析法的进一步深化，同时为本章其余各节的学习在数学研究思想、方法方面打好基础， 更为今后参数方程与极坐标 （理科） 、 简单的线性规划问题 （文科）等章节的学习设 下伏笔。高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有 理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过 训练形成技能，并能作简单的应用。根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求， 教学目标可分为知识目标、能力目标和情感目标。知识目标主要由数学基础知识和基本技 能构成，能力目标主要由数学思想和方法构成，而情感目标的构成更为广泛，如学习

6、兴趣 的激发，学习行为的规范，良好人际关系的建立，科学态度和创新精神的培养，人生观、 世界观、价值观的教育等等。所以，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的目 标。椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的。作为椭圆本质 属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点。同时，椭圆的标准方程 作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点。学生对“曲线与方程”的内在联系（数形结合思想的具体表现）仅在“圆的方程”一 节中有过一次感性认识。但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角 度来看，学生并未真正有所感受。所以，椭圆定义和椭圆标准方

7、程的联系成为了本堂课的 教学难点。二、教学方法和教学手段的选择：本节课采用启发式教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活 动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基 本知识和基本能力，培养积极探索和团结协作的科学精神。对教学手段的选择和利用：（1）采用多媒体技术，目的在于充分利用其优良的传播功 能。大容量信息的呈现和生动形象的演示（尤其是动画效果）对提高学生学习兴趣、激活 学生思维、加深概念理解有积极作用。制作中，采用交互技术，使课件的机动性得到加强。 （2）采用实物投影仪，目的在于利用操作方便、反馈及时的优点，弥补多媒体技术在即时 信息反

8、馈方面的不足。 （3）通过多媒体技术和实物投影仪的交替使用，取长补短。但必要 时仍然要借助课本、黑板等其它教学媒体。三、对学法指导的思考：要进行学法指导，必须对学生原有的认知结构进行分析：（1）学生在日常生活中对椭 圆图形有所了解。 （2）学生对求轨迹方程的一般思想方法比较了解。 （3）学生对数形结合 和分类讨论思想有所了解。学法指导的目标：（1）使学生能对一些常见的数学思想方法有进一步理解和强化； （2）让学生在解题之后能进行一些思考；（3）让学生能通过交流和讨论，提高语言表达 能力。学法指导的的实施途径：（1）通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一 步理解数形结合思想，产生主动运

9、用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分 类讨论，进行分类讨论思想运用的指导；通过实际问题的解决，进行化归思想运用的指导。 （2）通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思考的指导。 （3）通过对学生发言的点评， 规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。 （4）通过学生参与出题，进行命题指导。四、教学过程的说明：学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新。 当然，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关。而这一点，恰恰是现代社会对人的基本 要求，也是目前以德育为核心，以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育所提倡的。 所以，本节课力图从圆的定义和圆的方程的联系出发

10、，借助类比的思想对动点有规律的运 动作一些理性的探索和研究。同时，在学习运用过程中，对数形结合思想、分类讨论思想 和化归思想加深认识。根据对教学目标和教学内容的认识，对教学方法和教学手段的选择，对学法指导的思 考，教学基本程序如下：（一）激发兴趣，把问题解决作为教学的源动力。问题解决，在数学中既可以指肯定性的获得，即按照原来的要求解诀了问题；也可以 指得到了否定的解答，即证明了原来的问题是不可能解决的。本节课从研究探索平面上有 规律的动点运动入手，提出了一些学生能够进行思考但常常不够清晰的问题，使学生的注 意、记忆、思维凝聚在一起，达到学习活动的高潮。如：你能否发现动点运动的某些规律？ 你能否

11、写出椭圆的一个方程？你能否使方程更美一些？同桌俩人能否围绕椭圆定义和椭圆 的标准方程，商量后出一道练习题？（二）尝试引导，把数学活动作为教学的载体。学生在尝试进行问题解决的过程中，常常难以把握问题解决的思维方向，难以建立起 新旧知识间的联系，难以判断知识运用是否正确，方法选择是否有效，问题的解是否准确 等，这就需要教师进行启发引导。本节课采用了以下几种数学活动方式进行引导：（1）重温与问题有关的知识。如重温了圆的定义、求轨迹方程的一般思想方法等。（2）对给出的问题进行分析（猜测、比较、联想等） 。如猜测焦点在 轴上椭圆的方程； 对椭圆标准方程不同点的比较；对地理、生物、物理相关知识的联想等。（

12、3）开展小组讨论和全班交流。如对围绕椭圆定义和椭圆的标准方程出一道练习题、 判断鱼群的位置等较有思考力度的问题均设法通过讨论和交流进行相互启发。当然，在活 动中，教师要对讨论的方向和深度作及时的引导和点评。（三）自主解决，把能力培养作为教学的长远利益。让学生学会并形成问题解决的思维方法，需要让学生反复经历多次的“自主解决”过 程，这就要求教师把能力培养作为一个长期的任务，在课堂教学中加强这方面的培养意识。 本着这样的想法，在本节课中进行了类比、数形结合、分类讨论和化归等问题解决数学思 想方法的揭示和学习。（1）探索动点有规律的运动，其关键在于能否寻找动点的运动规律。从圆的定义出发，给出已知一个

13、定点条件下的有规律的动点运动。在此基础上，请学生寻找在已知两个定点 条件下的有规律的动点运动（教师可先找一个作为引子） 。教师需事先对学生可能想到的动 点运动规律作一个估计，从鼓励学生积极思考的角度出发，进行点评。（2）由于学生对圆的定义比较了解，加上计算机模拟演示椭圆的形成过程和对动点存 在性的讨论，为问题（对用类比思想给椭圆下定义）的自主解决提供了必要的保障。（3）由于学生对求轨迹方程的一般思想方法比较了解，对椭圆方程的探索有一定的方 向性。由于方程的简化过程比较繁琐，所以对具体的根式平方及整理做了淡化处理，但对 于方程在形式上的简化、美化和求轨迹方程的完整性则进行了强化处理。（四）练习总

14、结，把知识梳理作为教学的基本要求。练习是掌握和应用数学知识和技能所必需的。根据学生的认知特点，合理选择和设计 例题与练习。例 1 是教材上的例题。作为椭圆定义和椭圆的标准方程及其联系的理解和初步应用， 可以让学生自主完成，并让学生体会到自己在运用分类讨论的思想解决问题了。出一道练习题的挑战是让学生扮演教师的角色，体验命题心理，培养主动梳理、运用 知识的意识和数学语言表达能力，达到更好地掌握知识及其相互关系和数学思想方法的目 的。由于学生知识结构、思维结构的差异和时间的限制，学生的命题无法一一在课上进行 展示，解答。但应让学生在课堂内适当地议论一下，使学生的探索精神和创新意识得到肯 定和提倡，有

15、利于营造平等、民主的学习氛围。当然，教师要做好引导和评判，以防离题 太远。作为拓广和发展，可以在选修课或活动课上作深入研究。例 2 是一道自编题，涉及到地理（方位） 、生物（鱼群洄游） 、数学（椭圆）和物理 （声纳探测）等学科知识。本题主要考察学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。 因为学科综合知识要求略高一点，所以对审题做了弱化处理，给出了图示。总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构中去的必要步骤。 适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用， 发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础。本节课力求在概念学习和运用后，以思考的形式进行小结。同时，从数学知识、数学 能力、学习的启示三个层面进行课堂小结，达到掌握数学知识，培养能力，提高素质的根 本目的。作业布置试图通过阅读、练习和实践等不同形式的数学活动，加深对所学知识的理解 和运用，培养学生数学阅读习惯和动手实践能力。