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1、磁多极场的场参数理论 李国峰,孙克忱,梁科,郑旭,马志翘,王锦 南开大学信息技术科学学院，天津(300071) E-mail: 摘摘 要：要： 通过对磁多极场的分析，其对称性可分为两大类：一类是二、六、十、十四、极场，另一类是四、八、十二、十六、极场。本文根据磁多极场的对称性，导出了磁多极场磁感应三个分量的泰勒级数展开式，定义了磁多极场的场参数。结果表明，通过 y 轴上By 分量的数个参数，就可以近似计算得到整个空间的磁感应值。 关键词：关键词：磁多极场，场参数，泰勒级数 1. 引引 言言 随着科学技术的不断发展，非旋转对称电磁多极场的应用越来越突出。二极场（即偏转场）可以作偏转系统，四极场
2、、六极场和八极场可以作像差矫正器，用来矫正旋转对称场的球差、色差和轴上像散，也可用来矫正偏转系统的畸变、像散场曲和彗差等。另外，四极场还可以用作传输器件和聚焦器件。 场参数理论最早用来描述偏转磁场的性质1，从而研究其像差23。对于磁偏转场场参数的理论计算14和测量56已有很多文献报道，但只给出了 H 0、H2和 H4三个场参数。 场参数理论属于近轴理论， 为了在离轴较远的区域获得较高的精度， 就要有足够的场参数个数67。本文的结果，对于场参数的计算打下了基础。 2. 磁多极场的泰勒级数展开磁多极场的泰勒级数展开 通过对磁多极场对称性的分析，发现其磁感应量的对称性可分为两大类：一类满足(1)式
3、()()() ()()() ()()(zyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzzzyyyxxx,= )=(1) 它所对应的是二极场、六极场、十极场等，即 2(2n+1)极场，n0，1，2，如图 1 所示。图中表示磁力线，表示电流及方向。 另一类满足(2)式， ()()() ()()( ()()(zyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzyxBzzzyyyxxx,=) )=(2) 它所对应的是四极场、八极场、十二极场等，即 4(n+1)极场，n0，1，2，如图 2 所示。 - 1 -http:/ 2.1 2(2n+1)极场的泰勒级数展开2
4、(2n+1)极场的泰勒级数展开 用线圈产生磁多极场，当线圈内部空间无传导电流，且为真空时，则满足 0=B (3) 引入磁标位，令 =B (4) 将磁标位按泰勒级数展开 =00, nmmn mnyxa (5) 将(5)式代入(4)，(1)式，得 ()()=+ +=+=+ +=+=+=00122 12,20022 12,2001212 12, 221222iiji jixiiji jiyiiji jixyxaByxajByxaiB(6) - 2 -http:/ 同时，B也要满足 0=B (7) 则 ()()()()0212j12i22i00122 12,2122 12,2122 12, 22=+=
5、+ + + + iiji jiji jiji jiyxayxajyxa 即()()()() =+=+, 3 , 2 , 1 , 0,12i22i22j32j1 12 ,212 , 2232 ,2jiaaajijiji(8) 通过化简整理，同时令 , , , , , ,881661441221001 =HaHaHaHaHa (9) = 8, , 6 4 2 0n n1 ,n，这里，即Ha 则，得到 2(2n+1)极场三个磁场分量的泰勒级数展开式 +=7 2753 4535 637 85 2533 435 63 233 42 246 8246242xyayxayxayxHxyayxayxHxyay
6、xHxyHBx +=8 0962 2744 4526 638 86 0742 2524 436 64 0522 234 42 032 209 753 75 3533yayxayxayxaxHyayxayxaxHyayxaxHyaxHHBy(10) +=9 0972 2754 4536 638 87 0752 2534 436 65 0532 234 43 032 2 0yayxayxayxayxHyayxayxayxHyayxayxHyayxHyHBz式中 +=+=+=+=+=+=+=+=+=+=)8( 0)6( 2 4 6809)6( 2 4 6827 4 6845 6863)6( 0 2
7、4607 2 4625 4643 0 2405 2423 0203403201 50401 2801 141 9150401 1401 1434 ,1201 2114212831,7201 1201 101 711201 513 ,615241 61 51,612 ,21 31HHHHHaHHHHaHHHaHHaHHHHaHHHaHHaHHHaHHaHHa当 y0 时，由(10)式得到： - 3 -http:/ 008 86 64 42 20 = +=zyxBxHxHxHxHHBB(11) 由(11)式可以得到 H0、H2、H4、H6、H8的定义式： ( )( )() = = =1,2,3,n
8、 ,!21, 00222 000 yxnynn yxyxBnzHBzH (12) 称 H0、H2、H4、H6、H8为 2(2n+1)极场的场参数，它们只是 z 的函数。由定义式可以看出，H0代表 z 轴上 y 方向的磁感应 B 值，H2、H4、H6、H8代表沿 x 坐标磁感应 B 的变化梯度。只要场参数及其导数已知， 由(10)式就可以得到整个空间的磁感应值。 对于有限个数的场参数，就可以得到有限区域内的场分布。 2.2、4(n+1)极场的泰勒级数展开 2.2、4(n+1)极场的泰勒级数展开 同理，将(5)式代入(4)，(2)式和(7)式，则 ()( )()()0212j2i12i001212
9、 12, 121212 12, 121212 12, 12=+=+ + + + ijji jiji jiji jiyxayxajyxa 即()()()() =+=+, 3 , 2 , 1 , 0, 22i32i22j32j1 12 , 1212 , 3232 , 12jiaaajijiji(13) 通过化简整理，同时令 , , , , ,991771551331111HaHaHaHaHa= (14) = , 7 5 3 1n n1 , n，这里，即Ha 得到 4(n+1)极场三个磁场分量的泰勒级数展开式 +=9 1972 3754 5536 738 97 1752 3534 536 75 15
10、32 334 53 132 313 57935 7353yayxayxayxayxHyayxayxayxHyayxayxHyayxHyHBx +=8 1963 3745 5527 739 96 1743 3525 537 74 1525 535 52 133 3197 53753 533xyayxayxayxaxHxyayxayxaxHxyayxaxHxyaxHxHBy(15) +=7 1753 3535 537 75 1533 335 53 133 3 1xyayxayxayxHxyayxayxHxyayxHxyHBz式中 ()+=+=+=+=+= 3 5735 5753 1 3515 35
11、33 13131201 317 ,6171201 101,2061,61HHHaHHaHHHaHHaHHa- 4 -http:/ ()+=+=+=+=+=)8( 1)6( 3 5 7919)6( 3 5 7937 5 7955 7973)6( 1 3 57173628801 151201 5041 18150401 841 211284302412016112 ,50401 2801 141HHHHHaHHHHaHHHaHHaHHHHa. , , , ,88 (8) 66 (6) 22dzd dzd dzd dzd= 当 y0 时，由(15)式得到： 009 97 75 53 31 = +=z
12、yxBxHxHxHxHxHBB(16) 由 16)式可以得到 H1、H3、H5、H7、H9的定义式： ( )() = =1,2,3,n ,! 12100121212 yxnynnxBnzH (17) 称 H1、H3、H5、H7、H9为 4(n+1)极场的场参数，它们同样只是 z 的函数，代表沿 x 坐标磁感应 B 的变化梯度。 3. 总结总结 本文通过对磁多极场对称性的分析， 在泰勒级数的前提下， 给出了磁多极场的场参数理论及磁感应分量的计算公式，这对于磁多极场的分析和应用有很大帮助。 参考文献参考文献 1 J. Haantjes 14(1959), 65 2 J. Kaashoek, Philips Res. Repts. Suppl. 11(1968) 3 丁守谦，物理学报，29(1980)，1416 4 丁守谦，物理学报，30(1981)，459 5 R. Vonk, Philips Techn. Rev. 32(1971), 61 6 丁守谦等，电子科学学刊，5(1983)，163 7 李国峰 中国发明专利 CN90109340.8，1992 - 5 -http
