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1、斜三角形的面积向量式及其应用湖南省冷水江市第六中学(417500) 邓赞武文1介绍了余弦定理的向量式：以同一点为起点的任意两向量的数量积等于这两个向量的模的平方和与这两个向量终点的连线段所表示的向量的模的平方的差的一半。如ABC 中，=AB ACuuu r uuu rg2222ABACBCuuu ruuu ruuu r如果考虑ABC 的面积公式：SABC =sinA 及1 2AB ACuuu r uuu r=cosA 易得：A90时 SABC =tanA，同理AB ACuuu r uuu rgAB ACuuu r uuu r1 2AB ACuuu r uuu rgSABC =tanB，SABC
2、 =tanC（B90，C90）1 2BA BCuu u r uuu rg1 2CA CBuu u r uu u rg即斜ABC 中，SABC =tanA 1 2AB ACuuu r uuu rg=tanB=tanC，们不妨将该式称为斜三角形面1 2BA BCuu u r uuu rg1 2CA CBuu u r uu u rg积的向量式。现举两例说明该向量式在解题中的工具性作用。例 1(2002 年新课程卷)已知两点 M(-1，0)，N(1，0)且点P 使，成公差小于零的等差数列，(1)点MP MNuuu r uuu u rgPM PNuuu u r uuu rgNM NPuuuu r uuu
3、 rgP 的轨迹是什么？(2)若点 P 的坐标为(x0,y0)，记 为与PMuuu u r的夹角，求 tan。PNuuu r解：1)，成公差小于零的等差数列，MP MNuuu r uuu u rgPM PNuuu u r uuu rgNM NPuuuu r uuu rg故 2=+且-0（1）将PM PNuuu u r uuu rgMP MNuuu r uuu u rgNM NPuuuu r uuu rgPM PNuuu u r uuu rgMP MNuuu r uuu u rg=，=，PM PNuuu u r uuu rg2222PMPNMNuuu u ruuu ruuu u rMP MNuu
4、u r uuu u rg2222MPMNPNuuu ruuu u ruuu rNM NPuuuu r uuu rg代入（1）可得且2222NMNPMPuuuu ruuu ruuu r 2222PMPNMNuuu u ruuu ruuu u r2PNuuu r2MNuuu u r设 P（x,y）而 M（-1，0），N（1，0）由两点间距离公式得：x2+y2=3(x0),所以点 P 的轨迹是以原点为圆心，为半径3的右半圆。（2）由 P（x0,y0）知 x02+y02=3 且 0x03SPMN=tan=，tan= 1 2PM PNuuu u r uuu rg1 20MNyg0y2oyPM PNuuu
5、 u r uuu rg又=2， （）PM PNuuu u r uuu rg2222PMPNMNuuu u ruuu ruuu u r1 22MNuuu u r2222PMPNMNuuu u ruuu ruuu u rtan=0y例 2：（2007 年高考福建卷理 17 题）在ABC 中，tanA = 1 4 tanB= ， （1）求角 C 的大小， （2）若ABC 最大边的边长为3 5，求最小边的边长。17解（1）由 tanC=-tan（A+B）易得 tanC=-1 即 C=3 4（2）由三角形的面积 SABC =tanA =tanB=1 2AB ACuuu r uuu rg1 2BA BCuu u r uuu rg1 2 tanC 知：-= = CA CBuu u r uu u rgCA CBuu u r uu u rg3 5BA BCuu u r uuu rg1 4AB ACuuu r uuu rg即-= (2)2222CACBABuu u ruu u ruuu r3 52222BABCACuu u ruuu ruuu r1 42222ACABBCuuu ruuu ruuu r而最大边=代入(2)得：=，=3 即最小边长为。ABuuu r17CBuu u r2ACuuu r2参考文献1邓赞武，余弦定理的向量式及其应用，数学通讯，2006(13)
