《2022-2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 03 全等三角形压轴题真题(含详解)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 03 全等三角形压轴题真题(含详解)（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题0 3高分必刷题- 全等三角形压轴题真题（ 原卷版）题型一：全等三角形小压轴题考 向 1：多项选择题1 . 如图，已知 AB=AC, AF=AE, Z E A F = Z.BAC,点 C、D 、E 、尸共线. 则下列结论，其中正确的是（ ）BF=CE；N B F C = N E A F ； A B = B C ./ D J-=ACA, B . C . D . 2 . 如图，八钻。中，N C = 9O 、A 是角平分线，E 为 AC边上的点，D E = D B ,下列结论：/D E4+ZB=18O ；NCOE=NC4B；4 c = / （ 4B+AE） ；SAAOC=*S四 边 形ABDE,
2、其中正确的结论个数为 （ ）ABA. 4 个 B. 3 个 C. 2 个D. 1 个3 . 如图，直线AC上取点8 , 在其同一侧作两个等边三角形48。和8 C E ,连接AE, C D 与 G F ,下列结论正确的有（ ） A E = D C ；NA” C= 120 ；AGB之ZYOFB；8H 平分/A H C ； GF/AC.4 . 如图，已知ABC中，N B = N C , BC=Scm, B D = 6 c m ,如果点P 在线段8 C 上 以ICTH/S的速度由8点向C 点运动，同时点。在线段CA上由C 点向4 点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点。的速度为xcm
3、 /s,则当BPO与CQP全等时，x=.DQB P C 5 .如图，AB=4c， ，AC=BD3cm. /C A B = NOBA=60 ,点尸在线段 AB 上以 Icm/s的速度由点A 向点8 运动，同时，点 。在线段8。上由点B 向点。运动. 它们运动的时间为f ( s ) .设点 。的运动速度为& 而 ，若使得ACP与BP。全 等 . x 的值为.6. 根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形4BCD丝四边形48C1O1.( I ) 若 四 边 形 ABC。彩四边形AIBICIDI, 已知 AB=3, BC=4, AD=CD5, ZB=
4、90 , ZD=60 , 则 401=, Z B i=ZAi + ZCi - . ( 直接写出答案);( 2 ) 如 图 1 , 四边形ABEF丝四边形C8EQ,连接AO交 BE于点0 , 连 接 0 F ,求证：NAOB=NFOE；( 3 ) 如图 2 , 若 A B =4B i, BC=BC, CD=CD, AD=AD, N B = N B i,求证：四边形 ABC。丝四边形481C1O1.7 . ( 1 )如图 1 , 已知/ E O F = 1 2 0 , 0 M 平分/ E O F , A 是 0M 上一点，N B A C = 6 0 ,且与 O F 、0E分别相交于点8 、C,求证
5、：A B = 4 C ；( 2 )如图2 , 在如上的( 1 )中，当/ BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在0F的反向延长线上时，( 1 )中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；( 3 ) 如图3,已知/ 4 6 7 = / 8 , 过点。作 。E L B A于点E .此时请你通过观察、测量。E、。 尸与CG的长度，猜想并写出D E + D F与C G之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（ 3 ）当三角 尺 在（ 2 ）的基础上沿A C方向继续平移到图3所示的位置（ 点尸在线段A C上，且点尸与点C不重合）时，若A G ： 4 8 = 5 ： 1 3 , 8 c= 4 /
6、石 ，求 。E + O F的值.GGG在平面直角坐标系中，A (-2 , 0)、2 (0, 5), AB=AD, ZABC+ZADC 1SOQ , BCCD.( 1 )求证：NABO=NCAD；( 2 )求点D坐标；( 3 )如 图2 ,若0 c= 。8=5, E为NBCO的邻补角的平分线上的一点，且N8EO=45于点F ,求8 F的长., OE 交 BCJ1 hk了图1|图2B、C 在 y 轴上，且点B 与点C 关于x 轴对称,C X1 1 .在平面直角坐标系中，点 4 在 x 轴上，点点 。在线段A 8上，点 E 为该坐标平面内一点.LEF.K X I图1图2如图1 , 若点E 在线段AC
7、上，求证：C D = B E ；如图2 , 若点E 在线段8 c 上，且/O E 4 = /4 B C ,求证( 2 ) 如图3 , 已知8 D = A E ,点 E 在线段C4的延长线上，X图3 ( 1 ) 已知 BD=CE.Z A C O = 2 Z O A E .尸为CD中点，且 / 。48=30 , 求证：BF1 2 .如图，平面直角坐标系中，已知点A ( a - 1, a+b) , B ( a, 0 ) ,且V a + b - 3+ ( a-2b) 2=0 , C为x轴上点8右侧的动点，以4 c为腰作等腰A C。，使A ) =A C, Z C A D = Z O A B ,直线力B交
8、y轴于点P.( 1 )求证：A O=A B-.( 2 )求证：O C = B D ；( 3)当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？/XA C E,连接QC, B E交于点儿( 如 图1 )( 1 )求证：Z D4c丝 氏 ! ；( 2 )求力C与B E相交的/ O H B的度数；( 3)又以B C边向内作等边三角形 B CF ,连接。 尸( 如图2 ) ,试判断A E与 。 尸的位置与数量关系,并证明你的结论.DAD（ 图1 ）1 4.已知，A A B C是等腰直角三角形，BC =A B, A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方.（ 1 ）如 图1所示，若A的坐
9、标 是（ - 3, 0 ） ,点8的坐标是（ 0 , 1 ） ,求点C的坐标；（ 2 ）如图2 ,过点C作CZ ） _ L） ，轴于力，请直接写出线段O A , OD , C C之间等量关系；（ 3）如图3,若x轴恰好平分/ B 4C, B C与x轴交于点E ,过点C作CF _ Lx轴于凡 问C尸与A E有怎样的数量关系？并说明理由.1 5.在 A B C中，A B = 4 C ,。是直线8 c上一点( 不与点8、C重合) ，以4。为一边在4 0的右侧作4A D E, A D =A E, Z DAE = Z B AC,连接 CE .( 1 )如 图1 ,当点。在线段B C上时，写出 A B Q
10、g Z A CE的理由；( 2 )如图2 ,当点。在线段B C上，/ B A C=90 ,直接写出N B C E的度数：( 3)如图3,若NBC E=a, N B A C = B ，点 。在线段C 8的延长线上时，则a、0之间有怎样的数量关系？专题03高分必刷题- 全等三角形压轴题真题( 解析版)题型一：全等三角形小压轴题考向1：多项选择题1 .如图，已知AB=AC, AF=AE, 点C、。 、E、产共线. 则下列结论，其中正确的是( )BF=CE；NBFC=NEAF； ABBC.Arr- C A . B . c . 【 解答】解：ZEAFZBAC, ； . N 8A F=/C A E, ：A
11、FAE, AB=AC,正确，； .8/;= E C ,故正确，；. NABF= NACE, ： ZBDF=ZADC, ：.ZiD . (.SAS),故BFC=NDAC, V ZDAC=NEAR ：.ZBFC=ZEAFf故正确，无法判断A3=3C,故选：A.AfT- C 2 .如图，ZXABC 中，Z C = 9 0 、下列结论：NE4+N8=180 ；NCDE=NC4B；其中正确的结论个数为( )故错误，A。是角平分线，E为AC边上的点， DE=DB,AC=* (A8+AE)：SAADC= /S 四 成 形ABDE,= Z C A B ,故正确；AD 是角平分线，：.ZCAD=ZFAD,又.N
12、C=N4F, AD=AD, ：. /ACDA8A. 4 个 B. 3 个 C.：NC=90 , AD 是角平分线，：.DC=DF, Z又,：DE=DB, .,.RtACDERtAFDB, ；.NB= 180 ,，NDE4+N8=180 ,故正确；2个D. 1个 【 解答】解：如图，过作。 凡LAB于EC=/DFB,/CED, NCDE=NFDB, CE=BF, ZDEA+ZDEC/C=NDFB, NB=NB, ：.ZBDF=ZBACf :, /CDEAFD, ：.AC=AF, ：.AB+AE (AF+FB) + (AC - CE) =AF+AC=2AC,.AC=- (AB+AE),故正确；Rt
13、ACDE=RtAFDB, : .SACDE=SFDB, AS四边形A B O E= S四边形A C D F，又 :AACD=AAFD,S&ACD=SAADF, SM D C S 四边形A CQ尸= * S 四边形A B QE,故正确；故选：A.C三A F 5 3 . 如图，直线A C 上取点B , 在其同一侧作两个等边三角形A8Q和BCE,连接AE, C与 G F ,下列结论正确的有( )AE=DC；NAHC= 120 ；AAGB咨 ADFB；B 平分/A，C； GF/AC.D* B C A . B .C .D .【 解答】解：.AB。和8CE都是等边三角形，：.BA=BD, BE=BC, Z
14、ABD= ZCBE=6Q ,VZDB=180 - 60 - 60 =60 , ；. NABE= NBC= 120 , “：BA = BD, NABD=NDBC, BE=BC,: ./ABEmDBC (SAS), ：.A E =D C ,所以正确；NBAE=NBDC, V ZBDC+ZBCD= ZABD=60 ,：.ZBAE+ZBCD=6 , /. ZAWC= 1800 - QBAH+NBCH) =180 - 60 =120 ,所以正确；,: NBAG=NBDF, BA=BD, ZABGZDBF=f0 , .,.AGB也。 / 8 (ASA)；所以正确：, ? /ABE丝ABC, ；.AE和 0
15、 c 边上的高相等，即 B 点到AE和 。C 的距离相等，勿;平分Z 4 H C ,所以正确；.AG8丝。 尸 8, ：.BG=BF, ZGBF=60 , .8GF 为等边三角形，A ZBGF=60 , A ZABG= ZBGF, ：.G F /A C ,所以正确. 故选：D.考向2：动点问题4 . 如图，己知A8C中，NB=NC, BC=Scm, BD=6cm ,如果点尸在线段8C 上 以 ICT H/S的速度由8点向C点运动，同时点。在线 段C A上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停3止运动，设点。的速度为x c s / s ,则当B P。与 CQP全等时，x = 1或
16、彳 .【 解答】解：设运动的时间为出，则8P=f, PC=8 - t , CQ=fx , . . 当B D3= C。，8P=C尸时，也CPQ ( SA S) ,即 a =6, r =8 - t,解得 f=4, x = ；当 BD =C P, BP=C Q时，A B P D必C QP ( SA S) ,即 8 7=6, t=tx,解得 f=2 , x =l；3 3综上所述，x的值为1或字 故答案为1或李5.如图，A B =4c m A C BD =3cm. N C 4 B =/。54 = 60 ，点尸在线段A 8上 以lc ， / s的速度由点A向点B运动，同时，点 。在线段B O上由点B向点。
17、运动. 它们运动的时间为f ( s ) .设点。的运动速度为xcmk,若使得A CP与 B PQ全 等 .x的 值 为1或1 . 5 .【 解答】解：要使 A CP与A B P。全等，有两种情况：A P= B。， . 点尸在线段A8上以la / s的速度由点A向点B运动，同时，点 。在线段B D上由点B向点。运动. 它们运动的时间为t ( s ) .设点。的运动速度为x c m/ s , ； . x = 1 ；11 2 3 A C = B Q = 3 c mt A P = B P = A B = X 4c m=2 c / n , 1 .时间为y = 2 秒，即 1 =彳 =1 .5 ,所以x的
18、值是1或1 5题型二：全等三角形的大压轴题6 .根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形A BC Q四四边形4 B1 C 1 O1 .F一口图1A BC D ,已知 A B = 3 , B C = 4 , A D = C O = 5 ,Z A i + Z C i = 2 1 0 . ( 直接写出答案) ；( 2 ) 如 图 1 , 四边形A BE尸丝四边形C BED ,D i口B C i图2 ( 1 )若 四 边 形 A BC 。0 四边形ZB= 90 ， / 。=60， 则 441 = 5 , NBi = 90 ,连接AD交 B E 于点0
19、 ,连接O F ,求证：N A O 8 = N F O E ；( 3 ) 如图 2 , 若 A B= 4 8i , BC =BiC i, C D C D , A D =A D 四边形A i Bi G D i .【 解答】解：( 1 ) 四边形A B C O 0 四边形A i Bi C i Zh ,= 60 , Z A = Z A i , N C = N C i , V Z A + Z C = 1 60 -90 - 60故答案为5 , 90 , 2 1 0 .( 2 ) 如 图 1 中，图1 . 四边形A BEF 四四边形C B O, ： . EF=EDF EOm A D E O ( S A S
20、 ) , ： . Z E O F = Z D O E , V Z A O B = Z DO E ,： .,N B = N B i ,求证：四边形A B C D 丝0= 5 , NBi = NB=90 , Z D = Z D = 2 1 0 , ； .NA i +/C i = 2 1 0 ,Z F E O = Z D E O , ： EO=EO, ； .N A O B = N E O F .，四边形A BC 。丝四边形4 8i C i Z) i .D匕已B C 5 1( 3 ) 如图2中，连接A C , A i C i . 图2 ： A BA B, Z B = Z B , BC =BC , ：
21、. A BC /XA BC , ； .A C = ZBICIAI, ： A D A D , C D C D , /. AADCAAIDICI ( 5 5 S ) ,.ZA C D =ZA iC D , ：.Z B A D = Z BAAD, A B C D = Z. BC D ,DI1C iA 1 C 1 , ZBA C = ZBi A i C i , Z B C A ND =ND i, ZD A C = ZD i A i C i ,7. ( 1 ) 如图 1 , 已知/ E 0 尸 = 1 2 0 , O M 平分/EOF , A 是 。 M 上一点，NBAC=6Q , 且与 O R 0E分
22、别相交于点8、C ,求证：AB=AC；( 2 ) 如图2 ,在如上的( 1 ) 中，当N 8 4 C 绕点A逆时针旋转使得点8 落在。 F的反向延长线上时， ( 1 )中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；( 3 ) 如图 3 , 已知NA OC = /3 OC = /84 C = 60 , 求证：A BC 是等边三角形； OC=OA+OB.( I) 证明：过 A作 A G -L O尸于 G , AHLOE 于 H ,则 N A ” O= /4 G O= 90 , V Z O F = 1 2 0 , AZHAG=60 =ZHAC, :. NHAG - NBAH= NBAC
23、- NBAH, :.NBAG=NCAH, . OM 平分/EOF , AG，ZA G B= ZA HCLOF, AHOE, ：.AG=AH,在BA G 和C 4 ” 中，A G = A H ,ZBA G = ZC A H. .BA G A C A /7 (ASA), . 8 = A C ；( 2 ) 结论还成立，证明：过A作A G J_ O于G , 与 ( 1 ) 证法类似根据A S A 证 S A G T 4CAH (A SA ),则 A B= A C ；( 3 ) 证明：如图，NF OA = 1 80 -1 2 0 = 60 , NF OC = 60 +60 = 1 2 0 , 即 O M
24、 平分/C OF ,由 ( 2 ) 知：AC=AB, ： ZCAB=60 , 二ZVi BC 是等边三角形；在 OC 上截取 BO= ON,连接 BN, ZCOB=60a， , 80N 是等边三角形， 二。 N= 08, ZOBN=60 ,A B C 是等边三角形，ZA BC = 60 = N N B O ,； .都减去N A 8 N 得：NABO=NCBN, BC = A B在A OB 和C NB 中.3 NC BN= NOBA ，：./AOBCNB ( S A 5 ) , ：.NC=OA,BN= OB：.OC= ON+CN = OB+OA, 即 OC=OA+OB.fE三象限作等腰R t Z
25、X A BC .( 1 )求C点的坐标；( 2 )如图2 , P为y轴负半轴上一个动点，当尸点向) ， 轴负半轴向下运动时，以P为顶点，力 为腰作等腰R t A A P D ,过 。作D E1. X轴于E点，求 OP - DE的值；( 3 )如图3 ,已知点尸坐标为( -2 , - 2 ) ,当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作R t尸G ” ,始终保持NG F 4 = 90 , F G与) ， 轴负半轴交于点G ( 0,m) ，F ”与x轴正半轴交于点” ( ，0) ,当G点在y轴 的 负 半 轴 上 沿 负 方 向 运 动 时 ， 求证m + n为 定 值 ， 并 求 出 其【 解答】解
26、：( 1 )过C作C M L x轴于M点，如 图1 ,：CM10A, AC-LAB, ：. ZMAC+ZOAB=90 , ZOAB+ZOBA=90 , 则ZMACZOBA, ZC MA = ZA OB= 90在MA C和08A 中，NMA C = /OBA , .,.MA C丝0& 4 ( A 4 5 )A C = BA：.CM=OA=2, MA = OB4, .点 C 的坐标为( -6, - 2 ) ；( 2 )如图2 ,过。作OQJ_ OP于 。点,= 0Q,：DQLOP, DEVOE, NPOE=90，四边形 OEDQ 是矩形，/.OE=QD, DEOP=PQ+OQ=DE+PQ, V Z
27、APO+ZQPD=90 , ZAPO+ZOAP=90 , ：.ZQPD=ZOAP, ZA OP = ZP OD = 90在A O尸和P C Q 中，NQP D = NOA P , ：.AAOP/PDQ (AAS), ：.QP=AO=2,A P = P DA OP - DE=2；( 3 )结论是正确的，树 + =-4 ,理由如下：如图3 ,过点F分别作FSL轴于S点，尸 轴 于7:.FS=FT=2, NFHS=NHFT=NFGT,在FSH 和fTG 中，rZFSH=ZFTG=90 ZFHS=ZFGT , .FSHg尸TG (AAS) :.GT=HS,FS=FT又：G (0, m), H (H,
28、0 ) ,点尸坐标为( -2, - 2), ：.O T-O S2, OG=m= - m, OH= ，GT= O G -O 7= -m -2, HS=OH+OS=n+2, ：. - 2 - m=n+2, m+n= - 4.9 .在ABC中，AB=AC, CG,BA交BA的延长线于点G. 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F, 一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点既( 1 )在 图1中请你通过观察、测量8尸与CG的长度，猜想并写出8尸与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；( 2 )当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线
29、上，另一条直角边交BC边于点D ,过点D作DEVBA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；G( 3 )当三角 尺 在( 2 )的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置( 点尸在线段AC上，且点尸与点C不重合) 时，若AG： AB=5： 13, 8c=4后，求 力 尸 的值.图1图2图3 【 解答】解： 猜 想 ：BF=CG.理由：如图 C ：BFVAC, CGAB, /.SABC= BF=-AB*CG. ,：AB=AC, :.BF=CG；( 2 )猜想：DE+DF=CG.理由：连接 A D ,如图 2. DFLA
30、C, DELAB, CGLAB, SACD= A C *DF, S&ABD=,ABDE, SABC=;AB9CG. V SACD+SABD=SM BC, .U.-AC9DF+-AB9乙 乙 乙 乙 乙DE=-ABCG. ；4B=AC, :.DF+DE=CG；( 3 )连接 4 0 ,如图 3 .同( 2 )可得：DF+DE=CG.设 AG=5x, ：AG- AB=5： 13, ABAC,：.AC=AB=3x. ：.ZG=90 , /.GC=7AC2-AG2= 12X-在 Rt/XBGC 中，：8G=AB+AG=13x+5x=18x, GC=2x, BC=4yfl3, ：. (18x) 2+ (
31、12x) 2= (4A/13)2.， 2解得：x = , /. DE+DF= CG= 12x= 8.如 图 1 ,在平面直角坐( 1 ) 求证：NABO=NCAD；( 2 ) 求点D 坐标;( 3 ) 如 图 2 , 若 OC=O8=5, E 为/B C O 的邻补角的平分线上的一点，且NBEO=45 , 0 E交BC于 点 凡 求 BF的长.V ZABC+ZADCSOa , ：. ZBAD+ZBCD=【 解答】解：(1 ) 如 图 1 ,在四边形48CZ)中,VfiCXCD, /. Z BCD=90 , A ZBAD90 .：.ZBAC+ZCAD=90 , 又,.N8AC+/ABO=90 .
32、，ZABO= ZCAD.( 2 ) 如图 1 , 过点。作 Z)G_LAC, A ZAGD= ZBOA=90 , 又；/ABO=NCA), ABAD, ：. ABO丝DAG (A4S), ：.DG AO2, AG=BO=5, ：. OG=AG - A O = 3 ,则点。的坐标为(3, - 2)；_Lx轴于点G, 点在N 8 C 0 的邻补角的平分线上,( 3 ) 如图2 , 过点E 作8 c 于点H , 作 EG；.E H = E G .又；/B C O = /B E O = 45 , :.NEBC=NEOC. :.EBHQAEOG (A45),:.E B = E O .又；/BEO =45
33、 , :. /E B O = NEOB=675 ， ：/O 8C =45 ,:. NBOE= NBFO=675 . :.BF=B0=5.1 1 .在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴上，点 、B、C 在 y 轴上，且点B 与点C 关于x 轴对称，点 。在线段A 8上，点 E 为该坐标平面内一点.( 1 ) 已知 8C=CE.如图1 , 若点E 在线段AC上，求证：CD=BE；如图2 , 若点E 在线段BC上，S.ZDEA = ZABC,求证：NACO=2NOAE.( 2 ) 如图3 , 已知8 O = A E ,点 E 在线段CA的延长线上，F 为 C Q 中点，且 / OAB=30 , 求
34、证：BFF.【 解答】证明：( 1 ) ：点 8 和点C 关于x 轴对称，.A8=AC, . ./C 8 O = /8 C E ,在CBO和ABCEBD=CE中， ZCBD=ZBCE, :A C B D冬ABCE (SAS), :.CD=BE；BC=BC ；NDEA+NDEB= ZACB+ZCAE, NDEA = NABC= ZACB. N D E B =/CA E.ZD E BZC AE ,在B E 。和CA E 中， N E B D =N A CE ，.,.B E 。 丝CA E ( A A S),B D =CE：.BE=AC=AB, ：.ZBEA = Z B A E ,: 点 B 和点
35、C 关于 x 轴对称，：.AB=AC, OB=OC,：.ZBAO=ZCAO, ：.ZBAE2ZCA0- ZEAC2ZOAE+ZEAC, : NDEB=NCAE,；.NDEA=2N0AE, ； N O 4 = /A 8C=N 4CO , / A C O = 2 / O A E ；( 2 )延长8尸到点G , 使B F = F G , 连接CG 、EG、B E ,如图3 所示：.点8 和点C 关于x 轴对称，：.AB=AC, OB=OC, ：. ZOAB= ZOAC=30 , /. ZB A C=60 , ； . Z A B C 是等边三角形，：.CB=AB, B F=FGN B C4=60 ,
36、为 QC 中点，：.D F=CF,在 尸 和 GCF 中， ZB FD =ZGFC.D F=CF:ABD F丁AGCF QSAS), ：.CG=BD=AE, NCGF=NDBF, ：.BD/CG,：.ZGCA = ZBAC=f)O , /. ZBCG= ZBCA+ZGCA=60 +60 =1 2 0 ,.,N B A E =1 80 - ZOAB- Z A r=1 80 - ZOAB - Z O A C = 1 80 -30 - 30 =1 2 0 ,，CB =A B./8CG=/B 4E ,在 aB C G 和B A E 中， ， ZB CG=ZB A E - ； . A B CG A B
37、A ( S/1 S), ：. ZCBG ZABE,CG=A EBG=BE, ： ZCBG+ZGBA=60Q , A ZABE+ZGBA=60 , 即 N GB E =60 , ZXGB E 是等边三角形,: 尸是 B G 的中点，：.EFLBG, ：.BFLEF.图31 2 .如图，平面直角坐标系中，已知点A ( a- 1 , a+b) , B ( a, 0),且4a+b -3+ ( a-2b) 2=0, C为无轴上点B右侧的动点，以A C为腰作等腰 4CD ,使A O =A C, Z C A D = Z O A B ,直 线 。B交y轴于点P .( 1 )求证：A O = A B ；( 2
38、)求证：I) v Va+b -3+( 。- 2 b )b=, ： . A ( 1 , 3), B( 2 , 0), OA= J12+ 32=5/lQ,A B=yl( 2 -1 ) 2+g2 V1 0. . . OA =A B；( 2 ) * ： NC A D =NOA B, ： . ZC A D +ZBA C = Z OA B+ZBA C ,即N 0 A C = N 8 A D ,在 O A C和a B A力中,，O A =A B Z0A C=ZB A D , ( SA S), ： . OC =BD ；A C=A D( 3)点P在y轴上的位置不发生改变.理由：设N A O 8=/4B O =a
39、, * . 由( 2 )知A O C好A 8O , A ZA BD =ZA OB=a, VOB=2, N O B P =1 80 - A A BO - ZA B D =1 80 - 2 a为定值，, : NPOB=9。 ： , O P长度不变，.,.点P在y轴上的位置不发生改变.13.在ABC中，ZA, A A C E,连接。C, BE交于点H .(如图1)(1 )求证：DA% /BAE；(2 )求。C与BE相交的/O H B的度数；(3 )又以BC边向内作等边三角形 BCP,连接OF (如图2 ) ,试判断A E与O F的位置与数量关系,并证明你的结论.在OAC和8AE中， A D =A B
40、-N D A C=/B A E , .DAC乡8AE.A C=A E(2 )如图 1 中，：/XDACBAE, ：. ZADC A ABE, ： ZAOD ZBOH, ZAOD+ZADC+ZDAO180 , NBO” +NOH8+N48E=180 , A ZOHB= ZDAO=60a , :.NDHB=60 .(3 )结论AE=QF, AE /F D .如图2中，连接EF, /ABD, BCF, ACE都是等边三角形，：.BD=BAAD, BF=BC, CA=CE=AE, NABD= NCBF= NBCF= NACE=60 , :.NDBF=/CBA,A B =A DNBCA=NECF,在A
41、B C 和D B F 中，N A B C=N D B F，A A A B C A D B F,B F=B C同理ABC丝：.DF=AC=AE, EF=AB=AD,二四边形AQFE是平行四边形，14 .已知，ZABC是等腰直角坐 标 是(-3, 0 ) , 点 B 的坐标是(0, 1 ) , 求点C 的坐标；( 2 ) 如图2 , 过点C 作 CD_Ly轴于力，请直接写出线段。 4 OD, CD之间等量关系；( 3 ) 如图3 , 若 x 轴恰好平分NB4C, BC与 x 轴交于点E ,过点C 作 CF_Lr轴于F , 问 C尸与AE有怎样的数量关系？并说明理由.【 解答】解：(1 ) 作 CJ
42、_y轴于H , 如 图 1,点A 的坐标是(-3, 0 ) , 点 8 的坐标是(0, 1), ； .。4=3, OB=,:ABC是等腰直角三角形，：.BA = BC, NA8C=90 , ：. ZABO+ZCHH=W , N A 0B =/B HC：ZABO+ZBAO=W , ：.Z C B H =Z B A O ,在AB。和6CH 中，ZB A 0=ZCB H,A B =B C.AB。 丝8CH, ：.O B=CH=, OA=BH=3, OH= OB+BH= 1+3=4, C ( - 1, 4)；(2) OA = CD+OD.理由如下：如 图 2 , ABC是等腰直角三角形，：.BA=BC
43、, NA8C=90 , A ZAfi9+ZCBD=90 , ： ZABO+ZBAO90 , ：.ZCBD=ZBAO, /A 0B =N B D C在48。和B CD 中， /B A 0=/CB D , .480丝SCO , ；.OB=CD, OA=BD,A B =B C而 80=08+。 。= 。 +。 。，：.OA=CD+OD；(3) C F=-A E .理由如下：如 图 3, CF和 AB的延长线相交于点Q, A ZCBD=90 , V CFYx, A ZB C D +/D =90 , 而ND4F+NQ=90 , : .NBC D=/DAF,VABE=ZCBD在和CBO 中， AB=CB
44、, (ASA), ：.AECD, 轴平分NBAC, CFZB A E =B CD_Lx 轴，：.CF=DF, ：.CF=-CD=AE.y,是直线B C 上一点( 不与点B、C 重合)，以 A D 为一边在A O 的右侧作4OE, ADAE, NDAE=NB A C ,连接 CE.( 1 ) 如 图 1 , 当点。在线段BC上时，写出的理由；( 2 ) 如图2 , 当点。在线段BC上，/BAC=90 , 直接写出NBCE的度数；( 3 ) 如图3 ,若NBCE=a, /B A C = 。 ，点 。在线段CB的延长线上时，则 a 、B 之间有怎样的数量关系？写出你的理由.证明：V ZBAC= A
45、DAE, ：.ZB A C - ZD AC = ZD AE- A D A C ,即/BAO=NCAE,，AB=AC在AB。和ACE 中， ZBAD=ZCAE, .ABD丝/MCE (SAS)；AD=AE(2 )W： ：AB=AC, N8AC=90 , ：. ZABC= ZA C B = 45， 同 ( 1 )的方法可得,48。刍ACE(SAS),：.ZAC E= ZABD=45 , A ZBCE= ZACB+ZAC=45 +45 =90 ；( 3 ) 解：a = 0 . 理由如下：同 ( 1 ) 的方法可得，A8D丝/XACE (SAS), ZACE=ZABD,：NBCE=a, .,./A C E =/A C 8+N B C E =/4C B +a, ./ABO 是ABC 的一个外角，二/1 8 0 = /4 。 8+ZBAC= Z/ACB+P，.*.a=p.
