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1、 12004 年高考数学试题（广东卷）年高考数学试题（广东卷） 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分。 (1) 已知平面向量(3,1),( , 3)abx=rr，且abrr，则x = (A)3 (B)1 (C)1 (D)3 (2) 已知2|21| 3 ,60AxxBx xx=+=+，则AB =I (A) 3, 2)(1,2U (B)( 3, 2(1,)+U (C)( 3, 21,2)U (D)(, 3(1,2 U (3) 设函数2322,2( )42,2xxf xxxxa+=在2x =处连续，则a = (A)1 2 (B)1 4 (C)1 4(D)1
2、 3(4) 123212 11111lim nnn nnnnn+L的值为 (A)1 (B)0 (C)1 2(D)1 (5) 函数22( )sin ()sin ()44f xxx=+是 (A)周期为的偶函数 (B)周期为的奇函数 (C)周期为2的偶函数 (D)周期为2的奇函数 (6) 一台 X 型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000，有四台这种型号 的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是 (A)0.1536 (B)0.1808 (C)0.5632 (D)0.9728 (7) 在棱长为 1 的正方体上， 分别过共顶点的三条棱中点的平面截该正方
3、体， 则截去 8 个三 棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 (A)2 3(B)6 7(C)4 5(D)5 6(8) 若双曲线222(0)xyk k=的焦点到它相应的准线的距离是 2，则k = (A)6 (B)8 (C)1 (D)4 (9) 当04x (B)(0)(1)( 1)fff (C)(1)(0)( 1)fff (D)(0)( 1)(1)fff (12) 如右下图，定圆半径为a，圆心为( , )b c，则直线0axbyc+=与直线10xy+ =的交点在 (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限 二、填空题：共 4 小题，每题 4 分 (13) 某班委由 4 名男生和 3
4、名女生组成， 现从中选出 2 人担任正副班长。 其中至少有一名女 生当选的概率是 。 （用分数作答） (14) 已知复数z与2(2)8zi+均是纯虚数，则z = 。 (15) 由图(1)有关系PA BPABSPA PB SPA PB=VV，则由图(2)有关系P A B CP ABCV V= 。 P AB A BPABC ACB(1) (2)(16) 函数( )ln(1 1),(0)f xxx=+ 的反函数1( )fx= 。 3三、解答题：共 6 小题，74 分 (17) 本小题 12 分 已知角, 成公比为 2 的等比数列（ 0，2） ，sin ,sin,sin也成等比数列，求, 的值。 (1
5、8) 本小题 12 分 如右下图，在长方体1111ABCDABC D中，已知14,3,2ABADAA=，,E F分别是线段,AB BC上的点，且1EBFB= (I)求二面角1CEDC的正切值 (II)求直线1EC与1FD所成角的余弦值 ABDA1CB1D1C1EF(19) 本小题 12 分 设函数1( )1,0f xxx= (I)证明：当0ab (II)点00(,)P xy（0时，方程( )0f x =在2,mmem em内有两个实根 (22) 本小题 14 分 设直线l与椭圆22 12516xy+=相交于,A B两点，l又与双曲线221xy=相交于 C、D 两点，,C D三等分线段AB，求直
6、线l的方程。 52004 年普通高等学校招生全国统一 考试年普通高等学校招生全国统一 考试 广东数学标准答案广东数学标准答案 一、 选择题： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A 卷 B C B A A D B C D B A C B 卷 C A C A B D D A A B D B 二、 填空题： （13）75（14）2i (15)PCPBPAPCPBPA (16)(22Rxeexx+ 三、 解答题 17解：,成公比为 2 的等比数列，=2，=4 sin,sin,sin成等比数列 21cos, 1cos01coscos21cos2cos2sin4sin sin2s
7、in sinsin sinsin22= 或解得即 当 cos=1 时，sin=0,与等比数列的首项不为零，故 cos=1 应舍去， 316,38,34 38,34,32,34 32,2 , 0,21cos=或所以或时当18解： （I）以 A 为原点，1,AAADAB分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 6D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是，)2 , 2 , 4(),2 , 3 , 1 (),0 , 3, 3(11=FDECDE 设向量),(zyxn =与平面 C1DE 垂直，则有 22tan36400411
8、220101|cos,)2 , 0 , 0(,),2 , 1, 1(0),2 , 1, 1(2),2,2(21 023033101011011001=+= = =+= AAnAAnCDECAAnCDEAADECnnzzzzznzyxzyxyxECnDEn的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II）设 EC1与 FD1所成角为，则 142122)4(2312223)4(1|cos 2222221111= += = FDECFDEC 19.证明： （I） + = ), 1 (,11 1 , 0(, 11|11|)( xxxx xxf故 f(x)在（0，1上是减函数
9、，而在（1，+）上是增函数，由 0+=+=即 故1, 1abab即 （II）0|PA|, 810680),5680, 5680(, 5680, 5680=POPyx故即 答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心m10680处. 21.（I）解：函数 f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且 mxxfmxxf=+=1, 0)(,11)(得令 当 x(-m,1-m)时,f （x）f(1-m) 当 x(1-m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对 x(-m, +)都有 f(x)f(1-m)=1-
10、m 故当整数 m1 时，f(x) 1-m0 (II)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m=+=由所给定理知，存在唯一的0)(),1 ,(11=xfmmexm使 而当整数 m1 时， ), 1121(032) 12(2213) 11 (3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学+=mmmmmmmmemefmmm类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在,1 memm上为连续增函数且 f(1-m)与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22=xfmemxm使 故当 m1 时，方程 f(x)=0 在,2mememm内有两个实根。 22解：首
11、先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的方程为 y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为： 9),(),(),(),(44332211yxDyxCyxByxA yxoyxol lABCDABCD依题意有CDABDBAC3,=，由 )2.(0) 1(2)1 (1251650) 1.(0)40025(2)2516(11625222 2222122222=+ =+=+=+=+ =+=bbkxxkyxbkxykbkxxbbkxxkyxbkxy得由得若1=k，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1k 24312 kbkxx=+ 由43214213xxxxxxxxDBAC+=+=
12、 13161616410),(331)2(,1645) 1 (,0)(00012 25165022 34122 4, 32 2 , 122=+=+=+bbbxxxxCDABbxbxkibkbkkbk kbk即由得由得由时当或故 l 的方程为1316=y (ii)当 b=0 时，由(1)得 24, 322, 111)2(, 251620kx kx = +=得由 由251616251640)(33 223412= = +=k kkxxxxCDAB即由 10故 l 的方程为xy2516= 再讨论 l 与 x 轴垂直的情况. 设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 2412412524124125162558|3|3|1,25542234122 4, 32 2, 1=xlcccyyyyCDABcycy的方程为故即由综上所述，故 l 的方程为1316=y、xy2516=和24124125=x
