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1、ConfidentialPage 16/18/2018抛物线弦中点的一个性质及应用抛物线弦中点的一个性质及应用曾安雄曾安雄一. 弦中点的一个性质性质：是抛物线的弦 AB 的中点，则有直线 AB 的斜率。M xy()00，ypx p220()kp yAB0证明：设 A、B 两点的坐标为，则有，两式相减并整理，得A xyB xy()()1122，、，ypxypx12 122 222 yy xxp yyyyykp yAB121212120022 ，又，故二. 性质的应用例 1. 求抛物线以点为中点的弦 AB 所在的直线方程。yx26M()41，解：由性质知，所求的弦的斜率，且过点 M，由点斜式得直线
2、方程为kp yAB03 13，即为。yx134()3110xy例 2. 已知抛物线上恒有关于直线：对称的两点，试求 a 的取值范围。yax21lyx 解：设对称的两点为 A、B，中点为。M xy()00，如图所示，由，则。l ABkAB 1y B O M x A l 又由性质知，kp xaxAB001 2ConfidentialPage 26/18/2018即，得，又点 M 在直线上，得。1 210axxa01 2lya01 2 所以点 M 的坐标为。1 21 2aa， 由题意知，要使 AB 存在，点 M 应在抛物线内部，即，解得，yax21 1 21 212aaaa 3 4或。a 0又当时，对称点不存在。a 0故所求 a 的取值范围是。3 4，
