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1、行列式的定义和性质行列式的定义和性质 1.二阶行列式二阶行列式 平行四边形的有平行四边形的有 向面积向面积 称为称为二阶行列式二阶行列式, 记作记作 是平行四边形是平行四边形 OAPB 的有向面积的有向面积, 是两个向量是两个向量 或或 的函数的函数, 计算公式计算公式: 或或 从原点从原点O出发作有向线段出发作有向线段OA，OB，OC使使 则则 就是以就是以OA,OB,OC为棱的平行六面为棱的平行六面 体的有向体积。称为体的有向体积。称为三阶行列式三阶行列式，记作，记作 2. 三阶行列式三阶行列式 平行六面体体积平行六面体体积 三阶行列式的基本性质三阶行列式的基本性质 (3) det(e1,
2、 e2 , e3)=1 , e1,e2 ,e3 分别是三条坐标分别是三条坐标 轴上的单位向量轴上的单位向量. )可以看作可以看作 的乘积来展开的乘积来展开. (1) det( (2) 如果三个向量如果三个向量 中有两个相等中有两个相等, 则则 det( ) = 0 . 将三个向量将三个向量 中的任意两个互换位置中的任意两个互换位置, 则则det( ) 变为原来值的相反数。变为原来值的相反数。 利用基本性质计算三阶行列式利用基本性质计算三阶行列式 (2.1) 这样的项可以从这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i,j,k 两两 两不相等的项。两不相等的项。(2.1) 变成变成
3、 当当 i,j,k 中有两个相等时，中有两个相等时， 代入代入(2.2), 得得 又又 类似地有类似地有 (2.2) 我们有我们有 类似地有类似地有 其中其中 3.n 阶行列式阶行列式 它应具有以下它应具有以下基本性质：基本性质： (1) 是是 的某种乘积，可的某种乘积，可 以按乘法法则展开。以按乘法法则展开。 (2) 如果如果 n 个向量个向量 中有两个中有两个 相等相等, 则则 = 0 。将将n个向量个向量 中中 的任意两个互换顺序，的任意两个互换顺序， 则则 变为变为 。 (3) det(e1,e2,en)=1，其中，其中 n 维列向量维列向量 ei 的的 第第 i 分量为分量为1、其余
4、分量为、其余分量为0。 是由是由 决定的决定的 “n 维体积”维体积” 利用基本性质计算利用基本性质计算 n 阶行列式阶行列式 (3.1) 当当 i1,i2,in 中有两个相等时，中有两个相等时， 这样的项可以从这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项两两不相等的项, (3.1)中的中的 变成对变成对1,2,1,2, ,n 的全体排列的全体排列 (i1,i2, in ) 求和求和, 成为成为: 将排列将排列 中任意两个数中任意两个数 相互交相互交 换位置换位置, 称为这个排列的一个称为这个排列的一个对换。相应地，对换。相应地，行行 列式列式 中的中的 互换了位置，互换了位置， 其值变为原来值的相反数其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换进行若干次对换(设为设为 s 次次)可以将排列可以将排列 变成标准排列变成标准排列 (12n), 相应地将相应地将 变成变成 (3.2) 以下只须对每个排列以下只须对每个排列 求求 可以证明可以证明, 的值由排列的值由排列 唯一唯一 决定决定, 我们将我们将 记为记为 sgn 。则。则 sgn 代入代入(3.3) 得到得到 (3.3) 于是得于是得 这可以作为这可以作为 n 阶行列式的定义。阶行列式的定义。 (3.4)
