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1、时间序列分析在建筑物变形监测中的应用刘燕萍 贾东峰 程效军( 同济大学 土木工程学院 测量与国土信息工程系 上海市 200092)提 要 该文从时间序列分析的原理出发, 介绍了时间序列分析的方法及时间序列模型的统计特性及其在变形监测数据处理中的应用。详细论述了如何利用时间序列进行模型的识别、 参数估计及序列预测的过程。并结合上海市重点项目外滩历史性建筑的变形监测, 验证了时间序列分析对变形监测的数据拟合和预测具有良好的效果, 能精确地反映监测点的变化规律。关键词 时间序列 变形监测 序列预测Application of Time Series Analysis in Buildings Def
2、ormation MonitoringLiu Yanping Jia Dongfeng Cheng Xiaojun (Department of Surveying and Geoinformatics, Tongji University)Abstract Based on the principle of timeO serial analysis, the method of timeOserial analysis and statisticalproperties of timeOserial models are introduced, and its application in
3、 deformation monitoring data processing isalso too. How to do the model recognition, parameters estimation and sequence prediction by time series is dis -cussed in detail. Combinedwith the deformationmonitoring of historical buildings in the key project of Shanghaibund, it verifies that time series
4、analysis has good effect in data fitting and prediction of deformation monitor -ing, aswell as accurately reflects the change law of monitoring points. Keywords time series; deformation monitoring; sequence prediction作者简介: 刘燕萍( 1987- ) , 女, 硕士研究生, 研究方向为数字城市和三维建模。收稿日期: 2010- 03- 261 引言所谓变形监测, 就是利用专用仪
5、器和方法对变形体的变形现象进行监视观测的工作 1。在工程建设中, 常用变形监测的方法对可能发生变形的物体,如建筑物、 高速公路、 隧道、 桥梁等进行监测, 为工程建设的可行性评估、 施工以及后期运营提供数据资料。随着工程建设的进展, 变形监测的工作具有一定的周期性, 因此其获得的数据之间存在着统计相关性。根据数据之间的这种相关性, 对变形数据进行分析和预测, 是变形分析研究的重要内容。近年来, 对变形数据分析的方法很多, 有回归分析、 时间序列分析法、 灰色系统理论、 BP 神经网络法等。时间序列法是一种动态数据处理方法, 它是一种处理随时间变化而又相互关联的数据的数学方法, 是用来分析各种相
6、依有序的离散数据集合 2。时间序列分析的特点在于: 逐次的观测值通常是不独立的, 且分析必须考虑到观测资料的时间顺序, 当逐次观测值相关时, 未来数值可以由过去观测资料来预测, 可以利用观测数据之间的自相关性建立相应的数学模型来描述客观现象的动态特征 1。2 时间序列分析模型211 时间序列分析原理及模型1时间序列分析的基本原理是: 对于平稳、 正态、零均值的时间序列xt, 若 xt的取值不仅与其n 步的各个取值xt - 1, xt- 2, , xt- n有关, 而且还与前m 步的各个干扰at - 1, at- 2, , at- m有关( n, m=1, 2, ,) , 按多元线性回归的思想,
7、 可得到最一般的 ARMA 模型:xt= U1xt- 1+ U2xt- 2+ ,+ Unxt- n-H1at- 1- H2at- 2- ,- Hmat- m+ ata N( 0, R2 a)( 1)式中, Ui( i = 1, 2, , n) 称为自回归( Auto- Regres -sive) 参数; Hj( j = 1, 2, , m) 称为滑动平均( Moving46 勘 察 科 学 技 术 2010年第 6期Average) 参数; at这一序列为白噪声序列。式( 1)称为 xt的自回归滑动平均模型( Auto- RegressiveMoving Average Model, ARMA
8、) , 记为ARMA( n, m) 模 型。当 Hj= 0 时, 模型( 1) 变为:xt=U1xt- 1+ U2xt- 2+ ,+ Unxt- n+ at( 2)式( 2) 称为 n 阶自回归模型, 记为 AR( n) 。 当 Ui= 0 时, 模型( 1) 变为:xt= at- H1at- 1- ,- Hmat- m( 3)式( 3) 称为 m 阶滑动平均模型, 记为MA( m) 。为方 便对式( 1) 进行描述, 引入线性后移算子 BBkx t= xt- k Bka t= at- k并令: U( B) = 1- U1B - U2B2- ,- UnBnH ( B) = 1- H1B - H
9、2B2- ,- HmBm则有:xt=H ( B) U( B)at=at+ G1at- 1+ G2at- 2+ ,=Ej= 0Gjat- j=at( 1+ G1B + G2B2+ ,) = G( B) at( 4)即满足 ARMA( p, q) 模型的时序xt 可由现时刻以前的白噪声( 输入随机冲量) 序列 at 通过系统G( B) 的作用而完成。G( B) = 1+ G1B + G2B2+ ,=Ej= 0GjBj( 5)注: G0S1, Gj: Green 函数。212 时间序列模型的统计特性2. 2. 1 自相关函数自相关函数是描述随机信号 X ( t) 在任意两个 不同时刻 t1、 t2取
10、值之间的相关程度。它是时间序列模型识别的基本分析工具。对于一个平稳、 正态、零均值的随机过程 xt的自协方差函数为:Rk= E( xtxt- k) ( k = 1, 2, ,)( 6)当 k= 0 时, 得到xt的方差函数 R2 x:R2 x= R0= E( x2 t)( 7)自相关函数定义为: Qk= RkPR0( 8)2. 2. 2 偏相关函数偏相关函数是分析时间序列模型概率特性的另 一指标。它的定义是: 已知 xt 为一平稳时间序列,若能选择适当的 k 个系数 Uk1, Uk2, , Ukk, 将 xt表示为xt- 1的线性组合。xt=Eki= 1Ukixt- i( 9)当这种表示的误差
11、方差J = E ( xt-Eki= 1Ukixt- i)2( 10)为极小时, 则定义最后一个系数 Ukk为偏自相关函数( 系数) 。根据AR( n) , MA( m) , ARMA( n, m) 模型下自相关函数和偏自相关函数的性质, 可以直接给出初步 识别稳定时间序列模型类型的依据, 如表 1 所示。表 1 模型识别模型类别AR( p )MA( q)ARMA( p , q)模型方程U( B) xt= atxt= H ( B) atU( B) xt= H( B) at自相关函数拖尾q 阶截尾拖尾偏相关函数截尾拖尾拖尾213 时间序列建模的一般步骤数据样本应满足平稳、 正态、 零均值的条件,
12、因此对实际的沉降序列进行时间序列分析前应进行平 稳化和均值化处理, 步骤如下:1) 对原始数据进行平稳性检验;2) 对差分后的序列做均值化处理; 3) 对新序列计算自相关和偏相关函数, 进行模型识别;4) 对所选模型进行参数估计;5) 对模型适用性进行检验; 6) 确定预报模型, 进行预报。3 实例分析311 外滩工程概况为迎接上海世博会, 外滩实施了交通分流工程,在外滩道路下面开挖隧道, 为了掌握隧道开挖对邻近的历史性保护建筑的影响, 因此需要定期对道路 边的保护性建筑进行变形监测。外滩某保护性建筑的整体布局及各观测点位如图 1所示。图 1 外滩某保护性建筑平面图312 时间序列分析为反映楼
13、房的变化趋势, 取图 1 所示的建筑物472010年第 6期 勘 察 科 学 技 术 四个房角点: 1 号、 5 号、 11 号、 16号点位的数据进行分析, 为说明时间序列建模的过程, 本文仅列出 1 号点位不同时期的观测量, 表 2 为 1 号点位不同时期观测数据。表 2 1 号点不同时期的观测数据日期P 月- 日高程 P m日期 P 月- 日高程P m日期P 月- 日高程 P m日期 P月- 日高程 P m01- 013. 7903- 023. 786305- 073.785606- 303. 785901- 073. 789203- 083. 78605- 133.786607- 03
14、3. 786201- 133. 788603- 143. 785505- 193.786607- 063. 78601- 193. 788103- 203. 786105- 253.786407- 093. 78411- 313. 787903- 273. 785205- 313.785807- 123. 786602- 063. 787504- 023. 785206- 053.786107- 153. 786602- 123. 788204- 163. 785606- 113.785807- 193. 786102- 183. 786104- 233. 786306- 173.785602
15、- 243. 786404- 303. 786306- 243.78553. 2. 1 序列的预处理 为了检验原始数据的平稳性, 首先绘制出 1 号点的序列图, 如图 2 所示。可见 1 号点呈现明显的下降趋势, 是典型的不平稳序列, 因此对其进行 2 阶差分, 得到如图 3 所示的差分图, 从二阶差分后的时 序图可以看出, 序列消除了逐渐下降的趋势, 可视为宽平稳过程。同时, 该步骤实现了序列的零均值化 3。同时根据各阶延迟的统计量 P 值小于显著 性水平, 从而判定该序列为非白噪声 4。图 2 1号点的序列图图 3 2阶差分后的时序图3. 2. 2 计算相关系数及模式识别二阶差分后的时序图
16、满足了平稳、 零均值化条件, 计算该序列的自相关系数和偏自相关系数如图 4 所示。1) 由图 4 自相关图( 左图) 看出, 延迟 1 阶之后, 自相关系数全部衰减到 2 倍标准差范围内波动, 这表明序列明显的短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程连续, 相当缓慢, 该自相关系数可视为不截尾;2) 由图 4 偏自相关图( 右图) 显示除了延迟 3 阶的偏自相关系数显著大于 2 倍标准差之外, 其它的偏自相关系数都在 2 倍标准差范围内作小值随机波动, 而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程 非常突然, 所以该偏自相关系数可视为三阶截尾;图 4 偏自相关图3) 在考虑参数最少的情况下, 选用AR( 3) 模型对原序列进行拟合。 3. 2. 3 参数估计及模型检验根据最小二乘原理, 得到模型的参数估计结果,如表3 所示。将数据代入式( 2) 中, 即可以得到该序列模型的
