菱形的例题分析

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1、菱形的例题分析菱形的例题分析菱形是一种特殊的平行四边形，本文通过对典型例题的分析与解答，说明如何灵活运用菱形的性质解决问题；如何判定一个四边形是菱形？例例 1. 已知：如图，由菱形 ABCD 的顶点 C 作 CF射线 AD 于 F 点，CE射线 AB 于 E 点，试确定 CF 与 CE 的大小关系，并证明你的结论。分析与提示：对于提出的猜想 CF=CE，许多同学采取证明CFDCEB，但是此方法显然不如“连结 AC”这个证法好。解：CF=CE 证明如下，连结 AC四边形 ABCD 是菱形，CAE=CAF又CEAE，CFAF，CF=CE例例 2. 已知：如图，E 是菱形 ABCD 边 AD 的中点

2、，EFAC于 H，交 CB 的延长线于 F 点，交 AB 于 G 点。求证：AB 与 EF 互相平行分于 G 点分析：欲证 AB 与 EF 互相平分于 G 点，连结 AF、EB，只要证四边形 AFBE 是平行四边形，又需证 AE FB，为此，就要考虑 E 是 AD 边中点及 EFAC 的条件如何运用。证明：如图，分别连结 AF、BE、BD四边形 ABCD 是菱形ADBC，ACBD又EFAC，EFBDEFBD，EDFB四边形 EFBD 是平行四边形ED FB又AE=ED,AE FB四边形 AFBE 是平行四边形AB、EF 互相平分于 G 点例例 3. 已知：如图，在边长为 4a 的菱形 ABCD

3、 中，E 是 BC 边中点，P 是对角线 BD 上一动点，ABC=60，试求 PE+PC 的最小值。分析与提示：应充分利用直线 BD 是菱形 ABCD 的对称轴。因 A、C 两点关于直线 BD 对称，则欲求 PE+PC 的最小值，只要求 PA+PE 的最小值。解：如图，分别连结 AP、AC、AE，设 AE 交 BD 于 P点。四边形 ABCD 是菱形，BD 垂直平分 ACPA=PCPE+PC=PE+PAAE当且仅当 P 与 P重合时，PE+PC 有最小值。E 是 BC 边中点，AB=BC=4a在ABE 中， 而ABE=60可得AEB=90，从而 答 PE+PC 的最小值为 例例 4 已知：如图

4、，ABCD 中，AB=2BC，E、F 是直线 BC 上的点，BE=BC=CF，求证：AFED分析：若连结 MN，欲证 DEAF，只要证四边形 AMND 是菱形。证明：连结 MN四边形 ABCD 是平行四边形AD BC，AB DC在ABF 中，BC=CF，ABCNAN=NF又ADBF，DN=NC同理可证：AM=MB又AB=2BCAM DN，四边形 AMND 是平行四边形而 AD=DN，四边形 AMND 是菱形ANMD，即 AFED换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。”这个直角三角形的判定定理 ,如何证？解法 2：如图，延长 BE 至 G

5、，使得 EG=EB，连结 AGAB=2BC，EB=BC=CF在AGF 中，AB=GB=FBGAF=90，即 GAAF四边形 ABCD 是平行四边形AD BC又GE=BC，GE AD四边形 AGED 是平行四边形AGED，AFED想一想，例 4 还有哪些证法？例例 5. 已知：如图，RtABC 中，CDAB 于 D，ACB=90，AF 平分BAC，交 CD 于E，FGAB 于 G，求证：四边形 GFCE 是菱形分析：可先证四边形 GFCE 是平行四边形，再证它是菱形证明：如图所示，AF 平分BAC，FGAB、FCAC，FG=FC在ABC 中，ACB=90，CDAB，B=ACDCEF=CAF+AC

6、D=BAF+B=EFC在CEF 中，CEF=CFE，CE=CF又CDAB，FGABCE FG四边形 CEGF 是平行四边形又CE=CF四边形 CEGF 是菱形例例 6. 已知：如图，四边形 ABCD 中，ADC=90，AC=CB，E、F 分别是 AC、AB 的中点，DEA=ACB=45，BGAE 于 G 点。求证：(1)四边形 AFGD 是菱形；(2)若 AC=BC=10cm，求菱形的面积，证明提示：在 RtABG 中，由 F 是斜边 AB 的中点，可得 AF=GF在ABC 中，若连结 EF，由 E、F 分别是 AC、AB 的中点，得 EF BC，而由已知，AC=CB， ，则 DE=EF，由 EFBC，则AEF=ACB=45连结 DF，由 DE=FE，AE 平分DEF，则 AE 垂直平分 DF，从而 AD=AF，GD=GF由 AF=FG=GD=DA，得四边形 AFGD 为菱形(2)解法提示：