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1、1| | | | | | | 装装 | | | | | 订订 | | | | | | 线线 | | | | | | | | |2011 2012 学年学年 第一学期期末考试第一学期期末考试线性代数线性代数试卷（试卷（A） 答题时间答题时间 120 分钟分钟题号题号一一二二三三四四五五总分总分阅卷教师阅卷教师得分得分一、 选择题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)1、按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数是（ B 13(21)24(2 )nnLL）A B C D) 1( nnn n()1 2(1)n n(1) 2n n2、设有三个矩阵、和，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ）
2、3 2A2 3B3 3CA B C DACBCABABBC3、下列选项正确的是（ C ）A若方阵，则必有 AO0A B若方阵满足，则A1A AEC若方阵、满足，则有或ABABO0A 0B D对方阵、，总有成立ABABAB4、设有的矩阵，则齐次线性方程有非零解的充分必要条件是（ A 10 8A0Ax ）A B C D( )8R A 8( )10R A( )10R A 0A 5、设是三阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则（ B ）A*AA12A*2A A B C D12232526、设 n 阶矩阵 A 为正交矩阵，则必有（ D ）A B C DTAATAAO0A 21A二、 填空题(本大题共 6 小题，每
3、小题 4 分，共 24 分)1、设 4 阶行列式，则，4 41122 1151()1221 2161ijAa13233343AAAA 1 其中是的代数余子式。ijAija2、设方阵满足，则，其中是单位阵。A224AAEO1()AE 3 AEE3、当时，向量与的内积为 3。k 2/3 2 1 0 3 1 1 1 k 4、已知 4 阶矩阵、相似，且的特征值为，则ABA1 1 1 1,2 3 4 51|BE 24 5、设向量、线性相关，则，1213x 21 06y x 1 y 5 6、矩阵对应的实二次型 3002005005002001 22( , , , ) 3410 f x y z wxwxwy
4、z阅卷教师阅卷教师得得 分分阅卷教师阅卷教师得分得分试卷序号： 班级： 学号： 姓名： 2三、 计算题(本大题共 3 小题，每小题8 分，共 24 分)1、计算 n 阶行列式，其中。12111 111111nna aDa L L LLLL L120na aa L解：11 11 11 212 2 132,2,3111111111000000000000000i iiniiaccrranininn naaaaaaaDaaaaaa LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2 分） （4 分） （2 分）1 12312 211(1)(1)nnnn iiiiaaa aaa aaaaLL注：可有多种方法，
5、利用其他方法求解，但结果错误的，根据解答情况酌情给分。2、已知，求解矩阵方程。210 020 012A 1 1 1 1 1 1 1 1 1B AXXB解：整理方程可得，即（2 分） ，由于()AE XB1()XAEB （3 分）110100 (,)010010011001AE E 100110 010010 001011 因此（1 分） ，计算得1110 ()010 011AE （2 分）11101 1 1000 ()0101 1 1111 0111 1 1000XAEB 注：也可用伴随矩阵法求逆；写出求解过程但结果错误者，根据解答情况酌情给 35 分。3、已知矩阵，求的列向量组的秩和1234
6、511143 21355(,)11321 31567A A一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。解： （4 分）12345(,)A 10212011310000000000 向量组的秩为 2 （1 分）为一个最大无关组 （1 分）12, ， （2 分）312241235122 四、 证明题(本大题共 10 分)已知向量组线性无关，且，12,s Ls111s222L，证明向量组线性无关，其中，为任意实数。ssss111121,s L2si证明：设有常数使（1 分） ，即121,skkkL0112211sskkkL（2 分）0)()()(111222111sssssskkkL整理得（
7、3 分）112211sskkkL0)(112211ssskkkL由线性无关得s,21L（2 分）0112211121ssskkkkkkLL即无论为何值，都得，故线性无关。 （2 分）i0121skkkL121,sL注：多种解法，表述清楚即可得分。阅卷教师阅卷教师得分得分阅卷教师阅卷教师得分得分3五、 讨论题(本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分)1、已知非齐次线性方程组，问取何值时，方程组有唯一解，1231232 123211xxxkxxkxkxxk x k无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。解：对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵 （3 分）2111( , )121
8、111kA bkk k 1110111 00(1)(1)(1)kk kkk （1）若使，则须保证，即：当时，方( )( , )3R AR A b(1)(1)0kk11kk 且程组有唯一解；（2 分）（2）当时，的行阶梯形为，此时，1k ( , )A b111101010002 ( )2R A ( , )3R A b 故方程组无解；（2 分）（3）当时，的行阶梯形为1k ( , )A b111101210000 103201210000 此时，方程组有无穷多解（2 分） 。为求解，继续化行最简形，取( )( , )23R AR A b，为自由未知数，为非自由未知数，则1x2x3x13233221
9、xxxx 令，从而得方程组的通解为，其中为任意常数。 （3 分）3xc123322110xxcx c注：本题有两种解题方法：行列式或初等行变换，若方法正确，但计算过程出现错误，可根据解答情况酌情给分。2、设矩阵，问取何值时，矩阵能相似对角化？此时求可逆阵22082 006Ax xA和对角阵，使。P1P AP 解：特征多项式22202282(6)(2)(6)82006AEx 故的特征值为 （3 分）A1232,6 当时，解方程组，由12 (2 )0AE x （2 分）420 284 008AEx 11/20 001000 得线性无关的特征向量为个，解得（1 分） 。3(2 )1R AE11, 2,0T为使能相似对角化，则需对应的线性无关的特征向量应为个，A2363 12 即，由(6 )1R AE420 684 000AEx 42000000x 11/2000000x 得当时，能相似对角化（2 分） 。此时，解方程组得基础解系0x A(6 )0AE x，。 （2 分）21,2,0T30,0,1T综上得所求矩阵为，（2 分）110220001P 200060006 注：基础解系不唯一，特征值特征向量需对应；若结果错误，则根据解题过程酌情给分。阅卷教师阅卷教师得分得分
