《第五篇第4节数列求和课时训练文（含解析）新人教版推荐》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五篇第4节数列求和课时训练文（含解析）新人教版推荐（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 4 4 节节 数列求和数列求和【选题明细表】知识点、方法题号公式法求和1、2、8、12分组转化法求和3、9、14并项法求和4、7裂项相消法求和5、10、13、15错位相减法求和6、11、16一、选择题1.(2013 山东省泰安市高三期中)在等差数列an中,a9= a12+6,则数列an的前 11 项和 S11等于( D )(A)24(B)48(C)66(D)132 解析:法一 设数列an的公差为 d,首项为 a1,则由题意得 a1+8d= (a1+11d)+6,整理得 a1+5d=12,即 a6=12,因此 S11=11a6=132.故选 D.法二 由 a9= a12+6 得= a12
2、+6,所以 a6=12,S11=11a6=32,故选 D.2.(2013 山东省实验中学第三次诊断性测试)在等差数列an中,a1=-2013,其前 n 项和为 Sn,若-=2,则 S2013的值等于( B )(A)-2012(B)-2013(C)2012 (D)2013解析:S12=12a1+d,S10=10a1+d,2所以=a1+d,=a1+ d,所以-=d=2,所以 S2013=2013a1+d=2013(-2013+2012)=-2013,故选 B.3.数列1+2n-1的前 n 项和为( C )(A)1+2n(B)2+2n (C)n+2n-1(D)n+2+2n 解析:由题意得 an=1+
3、2n-1,所以 Sn=n+=n+2n-1,故选 C.4.(2012 年高考福建卷)数列an的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012等于( A )(A)1006 (B)2012 (C)503(D)0解析:an=ncos ,当 n 为奇数时,an=0,当 n 为偶数时,an=其中 mN*,S2012=a1+a2+a3+a4+a5+a2012 =a2+a4+a6+a8+a2012 =-2+4-6+8-10+12-14+2012 =(-2+4)+(-6+8)+(-2010+2012) =2503=1006.故选 A. 5.(2013 辽宁省五校联考)已知幂函数 f(x)=x
4、的图象过点(4,2),令 an=f(n+1)+f(n),nN*,记数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn=10 时,n 的值是( B )(A)10(B)120(C)130(D)140 解析:幂函数 f(x)=x过点(4,2),4=2,= ,f(x)=,an=f(n+1)+f(n)=+, =-.3Sn=(-1)+(-)+(-)=-1.又 Sn=10,-1=10,n=120.故选 B.6.Sn= + + + 等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:法一 由 Sn= + + + ,得 Sn= + +,-得,Sn= + + + -=-,Sn=.故选 B.法二 取 n=1,S1= ,代入各选项验证可知
5、选 B.7.数列an的通项 an=sin ,前 n 项和为 Sn,则 S2015等于( B )(A) (B)0(C)1(D)-4解析:由 an=sin ,知数列an是以 6 为周期的数列,且 a1+a2+a6=0,则 S2015=(a1+a2+a6)+(a2005+a2010)+a2011+a2015=a1+a2+a5=0. 故选 B. 二、填空题 8.(2013 北京市东城区联考)若数列an满足 a1=1,an+1=2an(nN*),则 a3= ,前 5 项 的和 S5= . 解析:由 an+1=2an(nN*),得数列an是首项为 1 公比为 2 的等比数列,所以a3=a1q2=22=4,
6、S5=31.答案:4 319.数列 , ,的前 n 项和为 . 解析:由于 an=n+ ,Sn=+=(1+2+3+n)+ + +=+=- +1.答案:- +110.(2013 温州高三质检)若已知数列的前四项是、,则数列前 n 项和为 .解析:因为通项 an=,所以此数列的前 n 项和Sn=1-+-+-+-+-5= -.答案: -11.已知数列an的前 n 项和为 Sn且 an=n2n,则 Sn= . 解析:Sn=a1+a2+a3+an,Sn=2+222+323+n2n, 2Sn=22+223+(n-1)2n+n2n+1, -得,-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1
7、-n2n+1-2, Sn=(n-1)2n+1+2. 答案:(n-1)2n+1+2 12.(2013 河南省平顶山二模)设数列an的通项为 an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|= .解析:an=2n-10, a1=-8,公差 d=2. 当 1n5 时,an0, 当 n5 时,an0, 则|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a5)+(a6+a7+a15) =-S5+S15-S5 =S15-2S5= -815+2 -2 -85+2=130. 答案:130 13.(2013 甘肃省兰州第三次模拟)设曲线 y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的
8、 横坐标为 xn,令 an=lg xn,则 a1+a2+a99的值为 . 解析:因为 y=xn+1(nN*),所以 y=(n+1)xn(nN*),所以 y|x=1=n+1,所以在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当 y=0 时,x=,所以 xn=,所以 an=lg 6xn=lg=lg n-lg(n+1),所以 a1+a2+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+(lg 3-lg 4)+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2. 答案:-2 三、解答题14.(2013 山东省青岛市高三期中考试)设an是公差大于
9、零的等差数列,已知 a1=2,a3=-10.(1)求an的通项公式; (2)设bn是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列an-bn的前 n 项和 Sn. 解:(1)设an的公差为 d,则解得 d=2 或 d=-4(舍), 所以 an=2+(n-1)2=2n. 由题意知 bn=3n-1, 所以 an-bn=2n-3n-1, 故 Sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)=-=n2+n+ - 3n.15.(2013 年高考新课标全国卷)已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0,S5=-5. (1)求an的通项公式;(2)求数列的前 n 项和.解:(1)设数列an的公
10、差为 d,由已知可得解得 a1=1,d=-1. 故an的通项公式为 an=2-n.(2)由(1)知=-,从而数列的前 n 项和为7- + - +-=.16.(2013 山东师大附中第三次模拟)已知等差数列an的首项为 a,公差为 d,且方程 ax2- 3x+2=0 的解为 1,d. (1)求an的通项公式及前 n 项和公式 Sn; (2)求数列3n-1an的前 n 项和 Tn. 解:(1)由方程 ax2-3x+2=0 的两根为 1,d.可得解得 a=1,d=2. 由此知 an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n2. (2)令 bn=3n-1an=(2n-1)3n-1, 则 Tn=b1+b2+
11、b3+bn=11+33+532+(2n-1)3n-1, 3Tn=13+332+533+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 两式相减,得-2Tn=1+23+232+23n-1-(2n-1)3n=1+-(2n-1)3n=-2-2(n-1)3n, Tn=1+(n-1)3n. 大题冲关集训1.(2012 年高考重庆卷)已知 an为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求数列an的通项公式; (2)记an的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数 k 的值. 解:(1)设数列an 的公差为 d,由题意知解得 a1=2,d=2. 所以 an=a1+(n-1
12、)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得 Sn=n(1+n),因 a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以=a1Sk+2.从而(2k)2=2(k+2)(k+3), 即 k2-5k-6=0. 解得 k=6 或 k=-1(舍去),因此 k=6.82.(2013 年高考福建卷)已知等差数列an的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3成等比数列,求 a1; (2)若 S5a1a9,求 a1的取值范围. 解:(1)因为数列an的公差 d=1,且 1,a1,a3成等比数列, 所以=1(a1+2), 即-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列an的公差
13、d=1,且 S5a1a9, 所以 5a1+10+8a1, 即+3a1-100,解得 2k-x2k+(kZ),令 f(x)0,解得 2k+x2k+(kZ),因此,当 x=2k-(kZ)时,f(x)取极小值,即 xn=2n-(nN*).(2)由(1)xn=2n-(nN*).得 Sn=x1+x2+x3+xn=2(1+2+3+n)-=n(n+1)-.当 n=3m(mN*)时,sin Sn=sin(-2m)=0,当 n=3m-1(mN*)时,sin Sn=sin=,当 n=3m-2(mN*)时,sin Sn=sin=-,综上所述,sin Sn=6.(2013 北京市东城区高三联考)已知数列an的前 n
14、项和为 Sn,且满足 Sn=2an-n(nN*). (1)求 a1,a2的值; (2)求数列an的通项公式; (3)若数列bn的前 n 项和为 Tn,且满足 bn=nan(nN*),求数列bn的前 n 项和 Tn. 解:(1)Sn=2an-n, 令 n=1,解得 a1=1; 令n=2,解得 a2=3.(2)Sn=2an-n, 所以 Sn-1=2an-1-(n-1),(n2,nN*). 两式相减得 an=2an-1+1, 所以 an+1=2(an-1+1),(n2,nN*).11又因为 a1+1=2, 所以数列an+1是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 所以 an+1=2n,即通项公式 an
15、=2n-1(nN*). (3)因为 bn=nan,所以 bn=n(2n-1)=n2n-n, 所以 Tn=(121-1)+(222-2)+(323-3)+(n2n-n)=(121+222+323+n2n)-(1+2+3+n). 令 Sn=121+222+323+n2n,2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1, -得-Sn=21+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1.Sn=2(1-2n)+n2n+1 =2+(n-1)2n+1,所以 Tn=2+(n-1)2n+1-.7.(2012 年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初 有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部 投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1与 an的关系式
