《第6节圆锥曲线的综合问题课时训练文（含解析）新人教版改版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第6节圆锥曲线的综合问题课时训练文（含解析）新人教版改版（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 6 6 节节 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的综合问题2、4、6、11直线与圆锥曲线的综合问题3、8、9、14圆与圆锥曲线的综合问题7、10、12、13圆锥曲线与其他内容的综合1、5一、选择题1.椭圆+ =1(ab0)的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,D 是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:设 D(0,b),则=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由 3=+2得-3c=-a+2c,即 a=5c,e= = .故选 D.2.(2012 年高考福建卷)已知双曲线
2、 - =1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )(A)(B)4(C)3(D)5解析:抛物线 y2=12x 的焦点是(3,0),2c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为 y=x,焦点(3,0)到 y=x 的距离 d=.故选 A.3.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点直线的斜率为,则的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:设交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为 M(x0,y0), 将 y=1-x 代入 ax2+by2=1 得(a+b)x2-2bx+b-1
3、=0,故 x1+x2=,x0=,y1+y2=2-=,y0=,k= = =.故选 A.4.(2013 山东淄博一中高三上期末考试)过椭圆 + =1(ab0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为 ,则双曲线 - =1 的离心率 e 的值是( B )(A) (B)(C) (D)解析:设椭圆的半焦距为 c1,在椭圆中当 x=c1时, + =1,3y2=b21-= ,y= .= ,即 a2=4b2, 设双曲线的半焦距为 c2,在双曲线中=a2+b2=5b2,e= =.故选 B.5.(2013 河北省衡水中学高三模拟)点 P 在双曲线 - =1(a0,b0)上,F1、F2是双曲线的两个焦点,F1PF2=90,且F
4、1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( D )(A)(B)(C)2(D)5解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上,F1为左焦点, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 r1-r2=2a,2r1=r2+2c, 解得 r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得 c2+5a2-6ac=0,两边同除以 a2得 e2-6e+5=0, 解得 e=1 或 e=5. 又 e1,所以 e=5.故选 D.6.(2013 福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,且,AB=2AD.设DAB=, 0,以 A、B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C、D 为
5、焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2,则( B ) (A)随着角度 的增大,e1增大,e1e2为定值 (B)随着角度 的增大,e1减小,e1e2为定值 (C)随着角度 的增大,e1增大,e1e2也增大 (D)随着角度 的增大,e1减小,e1e2也减小4解析:设 AD=1,则 AB=2,DC=2-2cos ,在ABD 中,由余弦定理得 BD=,e1=, 0,所以随着角度 的增大,e1减小;又 e2=,e1e2=1,故选 B.7.过双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于点 P,若 T 为线段 FP 的中点,则该双曲线的渐近
6、线方程为( B )(A)xy=0(B)2xy=0 (C)4xy=0(D)x2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为 F,连结 OT、PF. FT 为圆的切线, FTOT,且|OT|=a, 又T、O 分别为 FP、FF的中点,OTPF且|OT|= |PF|,|PF|=2a, 且 PFPF. 又|PF|-|PF|=2a,|PF|=4a. 在 RtPFF中,|PF|2+|PF|2=|FF|2,即 16a2+4a2=4c2, =5. = -1=4, =2,5即渐近线方程为 y=2x, 即 2xy=0.故选 B. 二、填空题8.(2012 年高考重庆卷)设 P 为直线 y=x 与双曲线 - =1(
7、a0,b0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e= . 解析:由消去 y 得 x=a.又 PF1x 轴,a=c,e= =.答案:9.(2013 东莞模拟)已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 . 解析:当 t=0 时,直线 AB 与抛物线 C 有公共点, 当 t0,则过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线方程为=,即 4x-ty-t=0,由得 2tx2-4x+t=0,=16-42t2.答案:(-,-)(,+)10.过双曲线 C: - =1(a0,b0)的一个焦点作
8、圆 x2+y2=a2的两条切线,切点分别为 A、B.若AOB=120(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为 . 6解析:如图,由题知OAAF,OBBF 且AOB=120,AOF=60. 又 OA=a,OF=c, =cos 60= , =2.答案:211.(2013 安徽蚌埠二模)点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p0)与双曲线 C2:- =1(a0,b0)的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p,则双曲线 C2的离心率等于 .解析:设 A(x0,y0), A 在抛物线上,x0+ =p,x0= ,由=2px0得 y0=p 或 y0=-p.双曲线渐近线的斜率 = =
9、2.e= =.答案:三、解答题712.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为,且椭圆经过圆 C:x2+y2-4x+2y=0的圆心 C. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.解:(1)圆 C 方程可化为(x-2)2+(y+)2=6,圆心 C(2,-),半径 r=设椭圆的方程为 + =1(ab0),则所求椭圆的方程是 + =1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是 F1(-2,0),F2(2,0),|F2C|=)的右焦点 F 在圆 D:(x-2)2+y2=1 上,直线l:x=my+3(m0)交椭圆于 M、N 两点. (1)求椭圆 C
10、的方程;(2)若(O 为坐标原点),求 m 的值;(3)若点 P 的坐标是(4,0),试问PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若 不存在,请说明理由. 解:(1)由题意知,圆 D:(x-2)2+y2=1 的圆心坐标是(2,0),半径是 1, 故圆 D 与 x 轴交于两点(3,0),(1,0), 所以在椭圆中 c=3 或 c=1, 又 b2=3,所以 a2=12 或 a2=4(不满足 a,舍去),于是,椭圆 C 的方程为+ =1.(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l 与椭圆 C 方程联立化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,y1+y2=,y1y2=,x
11、1+x2=m(y1+y2)+6=,x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=+9=.,=0,9即 x1x2+y1y2=0 得=0,所以 m2=,m=.(3)SPMN= |FP|y1-y2|= 1=2=22=1.当且仅当 m2+1=3,即 m=时等号成立.故PMN 的面积存在最大值 1.14.(2013 黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 的方程为 + =1(ab0),它的离心率为 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x=4 上一点引椭圆 的两条切线,切点分别是A、B. (1)求椭圆 的方程;(2)若椭圆 : + =1(ab0)在点(x0,y0)处的切线方程是:+=1.求证:直线
12、 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标;(3)求证:+为定值 (点 C 为直线 AB 恒过的定点).(1)解:椭圆 的焦点是(-1,0),故 c=1,又 = ,10所以 a=2,b=,所以所求的椭圆 方程为+ =1.(2)解:设切点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 上一点 M 的坐标(4,t), 则切线 AM、BM 的方程分别为+=1,+=1.又两切线均过点 M,所以 x1+ y1=1,x2+ y2=1,即点 A,B 的坐标都适合方程 x+ y=1,故直线 AB 的方程是 x+ y=1,显然直线 x+ y=1 恒过点(1,0),故直线 AB 恒过定点 C(1,0).(
13、3)证明:将直线 AB 的方程 x=- y+1,代入椭圆方程,得3 - y+12+4y2-12=0,即+4 y2-2ty-9=0,y1+y2=,y1y2=,不妨设 y10,y2b0)的离心率为,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 与曲线|y|=kx(k0)的交点为 A、B,求OAB 面积的最大值. 解:(1)由题设可知,圆 O 的方程为 x2+y2=b2, 因为直线 l:x-y+2=0 与圆 O 相切,故有=b,所以 b=.又 e= =,所以有 a2=3c2=3(a2-b2),所以 a2=3,所以椭圆 C 的方
14、程为 + =1.13(2)设点 A(x0,y0)(x00,y00), 则 y0=kx0, 设 AB 交 x 轴于点 D,如图, 由对称性知:SOAB=2SOAD=2 x0y0=k.由解得=.所以 SOAB=k=.当且仅当 =3k,即 k=时取等号.所以OAB 面积的最大值为.3.(2013 泉州五中模拟)已知抛物线 C:x2=2py(p0)上一点 P(a, )到焦点距离为 1.(1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 y=kx+2 交 C 于 M,N 两点,Q 是线段 MN 的中点,过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T. 证明:抛物线 C 在点 T 处的切线与 MN 平行;是否存在实数 k
15、 使=0?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)依据抛物线的定义知,P 到抛物线焦点 F 的距离为 PF= + =1,所以 p= ,抛物线的方程为 x2= y.14(2)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),联立得 2x2-kx-2=0,所以 x1+x2= ,x1x2=-1,所以 x0= .因为 y=2x2,所以 y=k,所以抛物线 y=2x2在 T 点处的切线与 MN 平行.由可得 T,则= x1-x2-+ y1-y2-=(k2+1)x1x2+k-(x1+x2)+ 2-2=-(k2-4)(k2+16)=0,解得 k=2,所以存在 k=2 满足=0.4.(2012 年高考江西卷)已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足|+|=(+)+2.(1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-20,关于 m 的方程 m2-m+2 -3=0 有解.在 x 轴上存在点 C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立. 7.(2013 年高考广东卷)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0的距离为,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点.(1)求抛物线 C 的方程; (2)当
