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1、第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动五年级决赛答案 1 / 6 第十三届第十三届“中环杯中环杯”中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 五五年级决年级决赛赛答案答案 一、填空题：一、填空题： 1. 答：25502400 323232323232333333213 13 123 23 2993 993 9913 13 1 123 23 2 1993 993 99 1991 12 199 199=12100100100 101100255024002 2. 答：1131 设所求数为 5a+1，则有 5a+14（mod7） ，得 a2（mod7） 。 设 a7b+2，则所求数为 35
2、b+11。则有 35b+119（mod11） ，得 b10（mod11） 。 设 b11c+10，则所求数为 385c+261。故符合要求的最小四位数为 3852361 1131。 3. 答：3 简单的分类讨论： （1）若A是说谎者，则可以推出B是诚实者，C是说谎者，D是诚实者，E是说 谎者。 （2）若A是诚实者，则可以推出B是说谎者，C是诚实者，D是说谎者，E是诚 实者。 综上所述，最多有3位说谎者。 4. 答：6 由于小于16的素数只有2,3,5,7,11,13，所以1613311 511 32 。接下来分类讨论： （1）如果是13,3组合，可以有3 1339和2313117。 （2）如果
3、是11,5组合，可以有5 1155。 （3）如果是11,3,2组合，可以有2 3 1166 、223 11132 和22 311198。 综上所述，一共6个这样的数。 5. 答：3或8 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动五年级决赛答案 2 / 6 设共答对n题，答错k题，未答x题。依题意有：5271nx和39371nk。后式经整理得到32 3kn。因为n为整数，所以3| 32k。k必是1、4、7、，相应求出11,12,13,n 。又由前式知，n最大是71 514。通过检验，得13n ，3x ；11n ，8x 。所以未答的题目是8题或是3题。 6. 答：8 容易分析出,E N是0或5。考
4、虑到 YNN 不能产生进位，所以0,5NE。其次考虑到最高位FS，所以发生了进位，从而8O （后面进两位）或者9O （后 面进一位或两位） 。由于0N ，所以0I ，所以1I ，9O ，并且后面进两位。 暂时得到下面的图 1，接下来继续分析。利用进位关系我们得到方程组2120219 1RTXTRX FS 。 由于这里一共出现了10个字母， 代表了10个数字，已经确定的是0,1,5,9，接下来要枚举了。由于,F S可能为 2,3 , 3,4 , 6,7 , 7,8，简单的尝试就知道最后的结果为图 2。 YTX1S+05T05TYTR9F68413+05805868792图 1 图 2 7. 答：
5、30 联结 SP、RQ。因点 P、Q、R、S 分别为边 AB、BC、CD、AD 的中点，故四边形 PQRS也是平行四边形且其面积为平行四边形 ABCD 的21。 再因 T 为边 SR 的中点， 故PQT面积占平行四边形 PQRS 面积的21， 即占平行四边形 ABCD 面积212141， 故PQT面积为 30cm2。 8. 答：84 显然，六个面可以组成三对，无论选取哪个顶点，最后这三对中任意一对的两个面 的数字之和都加一。由于最后正方体的所有面上的数字都相同，也就是说三对的数 字和相等了，所以开始的时候也要求数字之和相等。由于六个正整数的和为60，所以每对之和都是20。由于2020,1,2,
6、9xxx，共9种拆法（注意题目中要求“六个不同的正整数” ，所以不能拆成10 10） ，如果每种拆法都能满足题目的要求，那么最后答案就是3 984C 种。 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动五年级决赛答案 3 / 6 接下来说明每种拆法都能满足要求：对于这三对面来说，每对里任取一个面，这样 就拿出三个面，这三个面肯定可以产生一个公共顶点。所以我们可以先忽略最大的 那个整数所对应的面，然后按照刚才的描述（每对里任取一个面） ，从五个面中抽取 三个面进行加 1 操作，直到有一个面变成最大的那个整数，接下来忽略这两个最大 整数的面，继续这样操作。直到有三个面都达到最大整数，那么剩下的三个面肯
7、定 相等，继续操作使之达到最大整数即可 9. 答：335 容易知道23133333nna，所以 2312133 3331 3 3331nnn nnaa ，从而推出131 2nna。由于2,71且1 11317|7| 3131 mod72n nn ， 从而推出10 mod6n 。考虑到2013n ，所以5,11,17,2009n 。一共有2009 56 1335 个这样的数。 10. 答：198 从角上挖去一个小立方体后，去掉了原来表面上的 3 个小正方形，同时又有 3 个小 正方形露出，表面积不变。当从棱的中间挖去小立方体时，去掉原来的 2 个小正方 形，同时又出现 4 个新的小正方形，表面积
8、增加 422(平方厘米)。类似地，从 面的中间挖去小立方体将使表面积增加 514(平方厘米)。原来立方体的表面积 是 556150(平方厘米)，又正方体有 12 条棱，6 个面，故增加的表面积是 12 26448(平方厘米)，从而本题的答案为 15048198(平方厘米)。 二、动手动脑题二、动手动脑题: : 1. 答：13225,24336 设这两个五位数为22,n m，则 221111111111mnmnmn。 由于1111141 271， 所以只有两种可能：111115551 15550mnm mnn或者271156 41115mnm mnn。容易知道25551至少是七位数，肯定不满足我
9、们的要求。所以尝试一下156115mn ，发现这两个数为13225,24336，满足我们的要求。 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动五年级决赛答案 4 / 6 2. 答：486 设对一个2k的表格进行染色，有kN种染色方法。假设2k表格的最后 一 列的颜色从上到下依次 R、G，则对于21k的表格，所增加的一列可以有3种染色方法，如下图。从而得到递推式：13kkNN。利用乘法原理我们得13 2N ，所以5 52 3486N RGGRBGGRRBGR3. 答：72 要使得,A B之间的距离达到最大，则甲正好在,A B的其中一点上，乙在另一点上。设甲走了m次,A B之间的距离，乙走了n次,A
10、 B之间的距离，则要求mn是一个奇数。所以我们可以设211,2,mnll（其中l表示第l次达到最大） 。设两人都 走 了x小 时 ， 则 我 们 可 以 列 出 等 式23 6 36kxm kxn ， 两 个 式 子 相 减 得36 213636 21lkxmnlxk。 所以我们知道第2012次距离达到最大时候的362 2012 1pk，第2013次距离达到最大时候的362 2013 1qk，从而推出72qpk。题目告诉我们qp为正整数，所以72 k为正整数。而k也是正整数，所以k的最大值为72 4. 答：640 549首先证明点H在图 1 中的GC这条线段上。如图 3，设AE与GC相交于点1
11、H，则利用相似模型我们知道1 14420 999CHCECHABcmABBE。如图 4，设BF与GC相交于点2H，则利用相似模型我们知道2 25520 999CHBCCHEFcmEFBE，从而第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动五年级决赛答案 5 / 6 知道AE、BF与GC交于同一点，这个点就是点H，所以点H在线段GC上。 如图 5，我们推出2016499GHGCCHcm。过点I作KJAB，则利用相似模型我们有16 169 545KIGIGH IJIBAB，而5KIIJKJADcm，从而推出80 61KIcm，所以2111680640 22961549GHISGHKIcm H1FGEB
12、CADH2FGEBCAD图 3 图 4 KJIHFGEBCAD图 5 5. 答： （1）如图 （2）8/vcm s捕鼠器第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动五年级决赛答案 6 / 6 LBJIHGFCADEK如图，将立体图形放置到平面中来，容易知道图中的虚线AB就是老鼠要走的最短 路径。如果智能捕鼠器开始的时候在DE上的K点，则KL就是其要走的路径。由于 老鼠与智能捕鼠器同时启动，所以两者走的时间相同，路程比就是速度比，所以vAL vLK老鼠捕鼠器。由相似三角形可知ALAB LKBJ。显然，不管这个捕鼠器位于DE、FG还是HI上，都满足这个相似模型，所以速度比都是AB BJ，也就是说智能捕鼠器的速度与它放置的位置没有关系。而4315AJhb，8BJACa，所以利用勾股定 理 我 们 有22217ABAJBJAB。 所 以17 8ALAB LKBJ。 从 而 我 们 有17 8vAL vLK老鼠捕鼠器，所以8/vcm s捕鼠器。
