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1、第二章 误差的基本性质与处理 例 题 例 题 例 1例 1 测量小轴直径共 10 次，得到一系列等精度测得值如下（单位 mm） ：25.0360， 25.0365，25.0362，25.0364，25.0367，25.0363，25.0366，25.0363，25.0366，25.0364。若 已排除了系统误差的影响和剔除了粗大误差， 试求其算术平均值及标准差， 并写出测量结果。 解：解： 列表计算如下： 序号Di/mm Vi/m Vi2/m 1 25.0360 -0.4 0.16 2 25.0365 +0.1 0.01 3 05.0362 -0.2 0.04 4 25.0364 0 0 5
2、25.0367 +0.3 0.09 6 25.0363 -0.1 0.01 7 25.0366 +0.2 0.04 8 25.0363 -0.1 0.01 9 25.0366 +0.2 0.04 10 25.0364 0 0 n=10250.364idmm=0iv =220.40ivm=算术平均值： 250.36425.036410iddmmmmn=标准差，按贝塞尔公式： 20.40.21110 1immn=算术平均值的标准差： 0.07dmn= 测量结果为325.03640.0002dddmm= 例 2例 2 对某一 1 等米尺，在 20C 的条件下，进行不等精度测量，获得以下三组测量结 果
3、： 1231231000.0045,0.51000.0055,1.01000.0015,0.2LLLLmmmLmmmLmmm=试求其最终测量结果。 解：解：已知各组标准差，即可确定各组的权： ()()()123123222222:111:111: 0.51.00.24:1:25LLLppp=加权算术平均值为 ( )( )1 110.0005 10.00031.670.00012xxq=4 0.0030 1 0.00401000.00154 125 1000.0020Lmmmm+ =+ + =各组相应的残余误差为 ()111000.0045 1000.00200.0025LLmmmm= +()2
4、21000.0055 1000.00200.0035LLmmmm= +()331000.0015 1000.00200.0005LLmmmm= 加权算术平均值的标准差为 ()()()() ()()22221425135255 3 14 12543500.000960i L ipmpmm=+ + =+ += 最终测量结果为 031000.00200.0027LLLmm= 例 3例 3 对某一角度值，分两个测回进行测量，其权等于测量次数，测得值如下， 第一测回 第二测回 i pi i pi 3456 7 345540 3 345530 2 345520 1 3454 1 34550 1 34557
5、0 1 345510 1 3455 2 345550 1 试求该角度的最可信赖值及其标准差？ 解：解：第一测回的加权平均值及标准差 127 1234 5434 55 367 12 +=+=+ +?12324 ,96 ,36= = ()()()( )2222272419623615840iip=+ + =( )12111584088.9913 128.14iiipmp=第二测回的加权平均值及标准差 2403302201 701 101 50134 5432 1 1 1 1 1 34 55 33 + + + + +=+ + + + + =?12345677 ,3 ,13 ,33 ,37 ,23 ,
6、17= = = = = = ( )22 2 22361024.5317 17.76iiipmp=两个测回的权比 ()()121222221111:19:250 28.147.76pp=最可信赖值 111236193325034 5534 55 33.2192501928.147.5269p pp+=+=+=+?或 21122507.767.5269p pp=+例 4例 4 在万能测长仪上测量某校对量具。 重复测量 8 次， 测得值 （单位 mm） 为 150.0015， 150.0017，150.0016，150.0014，150.0013，150.0015，150.0016，150.0014
7、。试分别以 99.73% 和 95%的概率确定测量结果 解：解：列表计算如下： /ixmm /x mm /im 22/im 1 150.0015 0 0 2 150.0017 +0.2 0.04 3 150.0016 +0.1 0.01 4 150.0014 -0.2 0.04 5 150.0013 -0.1 0.01 6 150.0015 0 0 7 150.0016 +0.1 0.01 8 150.0014 150.0015 -0.1 0.01 1200.0120mm 0 0.122m ()121/1200.0120/8150.00150.12/10.138 1ninixxnmmnmm=因
8、测量次数 n 较小，应按 t 分布。 置信概率为 99.73%时， 1=0.0027，1=7 置信概率为 95%时， 2=0.05，2=7 查 t 分布表得 124.53,2.36tt= 则算术平均值的极限误差为 12lim1lim24.53 0.13/0.218 2.36 0.13/0.118xxtnmmtnmm=最后测量结果为 12150.00150.0002150.00150.0001xmmxmm=例 5例 5 在立式光学比较仪上鉴定 L0=10mm 的量块。所用基准量块 4 等，其中心长度的 实际偏差-0.1m，检定的极限误差lim1=0.2m。测量时恒温条件为 t=202C。10 次
9、 重复测得值（单位m）为+0.5，+0.7，+0.4，+0.5，+0.3，+0.6，+0.5，+0.6，+1.0，+0.4。 试求此测量方法的极限误差，并写出最后结果。 序号 ix mi m 22i m i m 22i m 1 +0.5 -0.05 0.0025 0 0 2 +0.7 +0.15 0.0225 +0.2 0.04 3 +0.4 -0.15 0.0225 -0.1 0.01 4 +0.5 -0.05 0.0025 0 0 5 +0.3 -0.25 0.0625 -0.2 0.04 6 +0.6 +0.05 0.0025 +0.1 0.01 7 +0.5 -0.05 0.0025
10、0 0 8 +0.6 +0.05 0.0025 +0.1 0.01 9 +1.0 +0.45 0.2025 10 +0.4 -0.15 0.0225 -0.1 0.01 n=10 5.5ixm=0i=220.345im=0i=220.12im =解：解：按测量顺序，用表格记下测得数据。 （1） 求算术平均值 0.00551010.0005510ixxmmmmn=+=（2） 求各测得值的残余误差 ()iixx=数据见上表 （3） 求标准差 2100.3450.3450.2110 19immmn=（4） 判断有无粗大误差 1）按罗曼诺夫斯基准则，首先怀疑第 9 各测得值含有粗大误差，将其剔除，根
11、据剩下的 9 个测得值计算算术平均值及标准差，得 9910.00050.12xmmm=选取显著度=0.05，已知 n=10 查表得 ()10,0.052.43k= 则 92.43 0.000120.00029k= 因 910.001 10.00050.00050.00029xx= 故第 9 个测得值含有粗大误差，应予剔除。 剩下 9 个测得值，再重上述步骤，由判别可知不再含有粗大误差。 2） 按格罗布斯准则，按测得值的大小，顺序排列得 ( )( )( )()1291010.0003,10.0004,10.0007,10.001xxxx= 今有两测得值( )()110,xx可怀疑，但由于 ( )
12、()11010.00055 10.00030.0002510.001 10.000550.00045xxxx=故应先怀疑()10x是否含有粗大误差 ()()10 1010.001 10.000552.250.0002xxq= 查表得 ()010,0.052.18q= 则 ()()0102.2510,0.052.18qq= 故表中第 9 个测得值含有粗大误差，应予剔除。 剩下 9 个测得值，再重复上述步骤，判别( )1x是否含有粗大误差。 10.0005 0.12x = =( )( )1 110.0005 10.00031.670.00012xxq=查表得 ()09,0.052.11q= ( )
13、()011.679,0.052.11qq=不含有粗大误差， 而各( )iq皆小于 2.11， 故可认为其余测得值也不含有粗大误差。 3） 按狄克松准则，将测得值从小到大顺序排列得 ( )( )( )()1291010.0003,10.0004,10.0007,10.001xxxx= 首先判别最大值()10x，因 n=10，故计算统计量11 ( )()( )( )1 11 210.001 10.00070.510.001 10.0004nnnxxxx=查表得 ()010,0.050.477= 则 ()1100.510,0.050.477= 故表中第 9 个测得值含有粗大误差，应予剔除。 再判别最
14、小值(1)x，计算统计量 11 (1)(2) 11 (1)(1)10.0003 10.00040.2510.0003 10.0007nxxxx=则 11=0.250(10,0.05) = 0.477 故表中第 5 个测得值不含有粗大误差。 剔除测得值 10.001 后，再检查其余测得值，此时 n=9，检查结果不含有粗大误差。 根据以上三个粗大误差判断准则， 均判断第 9 个测得值含有粗大误差， 故应将第 9 个测得值 予以剔除。 （5）分析有无不变系统误差 发现和消除不变系统误差的基本措施可用实验对比法，若不能从误差源上及在测量 过程中消除不变系统误差，应确定修正值，对算术平均值进行修正。本例除所用的 10mm 四 等量块有一修正值- 0.1m 外，别无其他显著的不变系统误差。 （6）检查有无变化的系统误差 用
