《导数应用的题型与方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数应用的题型与方法（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数应用的题型与方法令江苏省新海高级中学(潘彩盖入兴孟凡才宋瑞东执笔王广余统 稿)一、目标指引1.课标 的学习 要求:(l )导数的概念了解平均变化率和瞬时 变化率的 意义;了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其 内涵.;通过函数图象直观地理解导数的几何意义(2 )导数的运算理解导数的定义,能根据导数的定义求 常见初等函数的导数;了解基本初等函数的导数公式和四则运算法则;并能求简单函数的导数(3 )导数在研究函数 中的应用了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间.了解函数的极大(小)值、最 大(小)值与导数的关系;会求不超过三次 的多项
2、式函数极大(小)值,以及在指定区间上不超过三次的 多项式函数 的最 大(小)值(4 )导数在实际生 活中的应用能用导数方法求解 有关 利润最 大、用料 最省、效率最高等最优化问题2.考纲要点及 层次:(1 )了解导数的概念(A)理解导数的几何 意义(B)(2)理解导数的定义(B).能用定义法求常见初等函数的导数(B );根据基本初等函数的导数公式及其四则运算法则,能求简单函数的导数(B).、能求简单 的复合函数(形 如f (“二+b )的导数(B )(3)利用导数研究函数的单调性 和极 大(小)值(B )(4 )能用导数方 法求解实际 生活中最优 化问 题(B )定积分(A)二、考点疏理I I
3、 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I目l l l 求求简中函数的 分数 日求简单女“函数的汁交交交线线 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11勺勺 L L L ) J J J 全全戈戈求求实际问题的城优解解解研究函数性质质奕奕.l匆子 函数,飞、调性性性求函数11勺 极(石麦)值说明:导数由于其知识内涵的基础性和 广泛应用的工具性,因此在近几年的高考 中深受 命题者的青睐,一方面导数 考查 的题型 和方 法在不断 出新,另一方面命题的广度和深度也在不断加大,所以复习中必须在牢固掌握基本概念和基础方法的前提下.突出导数的工具作用,特 别是要拓宽、深化 导数的综合应用,提高综合解题的能 力.三、典型例题例1( ) 7连云港三模)函数I (、动一l了一3t .:+m一(m,t为实
5、常数)是偶函数.(1 )求实数n ,的值并比较f听)与/ (2万) (, 0 )的大小;(2 )求函数y一j (:)在区间2,2习上的最大值F(l )思维透视(1 )由f(一:)一f(二)恒成立易得, 。一。.而f(在)一!,赤一3 t抓J一Zl t抓l,f(2万)一18 t在一 6 t抓i一2 1,万!,故f版) 一_ / (2万);(2 )由于 函数f(二)辟了通道,促使游戈无序的思维 有序化、方向化、目标化.例2(0 7福建)已知函数j (J一) 一创一 k儿TeR .(1 )若k =。,试确定函数 f(二)的单调区间;(2 )若h。,且对于任意二任R,j (4二)。恒 成立,试确定实数
6、h的取值范围;(3)设函数F(:)一f (二)+/ (一x),求证:F (l )F(2)/(,)(。,+2 )苦(、eN).思维透视(”由k 一尸得/(川一洲一。T,所以 户一:)一。,一犷.由. 厂(二)。得:l,故j (沈)的单调递增区间是(1,+二).由厂(二)。对任意二呀R成立等价于_f (:)。对任意、妻。成立.由户习一。一h一。得x一I n k.当走任(o,1时,jJ(二) =。,一kl一走)o(二0 ).此时f(二)在。,+二)上单调递 增.故f(. 川 )/ (0 )一1。,符合题意.当走任( 1,+二)时,In走0.当二变化时. /“(2、),f(二)的变化情况如下表:是偶函
7、数,故要讨论函数_ f (川在巨一2,2的最 大值.只需讨论函数/ (川在o,2的最大值.令h (. 动一尸一3t:(二o,2),人(,) =3二忿一32.当z镇。时,人(二)=3二2一3r)0.(仅当z=o,; 一。时动(、:)=o).从而h(二)是增函数,h(;)的值域 为。.8一6司,F(t )一8一6 t.当t。时,分论的标准如何确定.先画出在二)0时函数f(二)的图像,如图 所示,而(l )中结论f听)一j (2万),以这个铺垫为中心,点明分类 讨论的标准是什么,即区间。,2边 界值2与万和2万大小关系为分类标准.分类为: 当24时,h(二)一3厂一3 14)评注此题 从前置铺垫中抓
8、“启示点”一引领 思维指路”.在知识发 展、生成过程中,前后 知识有着必然的联系,前面的铺垫为后者的发展创建有效的平台,也为前者沉淀的知识得到 全然 的释放 与延伸,开由此可得,在。,十二上, / (川)f (In k) 一k一k ln k.依题意,k一 kl nk0,又k1,:.1衬】十:+2犷1:+2,从而F(l)F (n)。,+2,F(2)F (n一1)己”一+2,F(们F (l )洲一+2,由此可得F(l)F ( 2)F(n)口2(它n一+2)n,故F(1) F(2)F(n)(。,一卜+2)普,n任N二评析本题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用 导数研究函数性
9、质的方法,考查 分类讨论、化归以及数形结 合等数学思想方法.本题要求学生善于根据问题的特征,从众 多的数学信息中提取、挖掘出有效的信息,灵活地运用有关的知识,映衬 出相应的意象,从而找出问题 的切人口,开启成功之门.四、巩 固练习1.设曲线y一二3(r妻0 )直线y一。及二一t( t0 )围成 的封 闭图形 的面积 为 s (t ),求S ( t).选题目的:本题由苏教版 选修l 一l第7 2页1 2题改编而成,主要考察学生能否深刻理解导数概 念及以直代曲的思想方法.4.烟囱向其周 围地区散落烟尘造成环境污染,据环保部门测定.地 面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比,而与该烟囱喷出的
10、烟尘量 成正比,某乡境 内有两个 烟囱A.B相距 2 0km,其 中B烟囱喷出的烟尘 量A的8倍.该乡要在两座烟 囱连线上一点C处建一小学,请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低.选题目的:本题 根据选修l一l第8 0页例4改编而成,旨在考察学生应用导数知识解 决实际问题的能力.2已知函数 f(了) 一2工2一 。了,、(/)一警,是否存在整数m,使得函数f(二)与g(二)图像在区间(m,脚+ l )内有且仅有两个公共点,若有,求出, n的值,若没有.请说明理 由.选题目的:本题是运用导数研究函数单调性、极值、零点的典型问题,主要考察学生能否熟 练掌握 数形结合、函数方程等思想方法.五、热点预 测
11、预测1.由于导数及其应用 在新 课标 中的地位比以前有所加强.且新增了平均 变化率的概念,而导数实际上就是函数值相对于自变量 的变化率.苏教版教材中也有大量有关变化率的实际应用题,因此与变化率有关的实际应用题应为 0 8高考导数命题的重点和热点之一3.用导数知 识证 明抛物线的光 学性质:位于焦点F的光源所射出的光线F P经抛物线上任一点反射后(该点处的切 线反射)反射光线尸M 与抛物线 对称轴平行.选题目的:本题根据苏教版 选修1一l第8 2页阅读内容改编而成,主要考察导数的几何意义以及代数推理论证能力.例1如图.酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深s cm,上口宽6。m,水以ZocmZ/s的流量倒
12、入杯中,当水深为4 cm时,求水面升高的瞬时变化率.解法1设当水深h。m时圆锥横截面半径为r cm,对应体积为v可知,音-h3,13.、,.3 了二r一百“一了7 T了” )一h一丽“厂3 不万兀h十打) 一h 少 自V匕任一一tt_3二匹(人+六)3一人64l一典3。:(攀+3人(攀)。+单(。):O 任凸l凸I凸,又当tO时,hO且共 牛20自lV即2。一典.b 43h2当h一4时,h_20 又64_8 0,、二 尸-气,尸气甲了二一、C l ll/S少日兀入4一日兀答:当水 深为4 cm时,水面升 高的瞬时变化率为/ smC8 0一阮解法:由v 一粤7 r尸。-O葵人;一 2。,b4得*
13、3一2 0,x丝冷。一j兀寸聆严.片于 是。,一粤.人座勇亚0VJ7 r6 6 6_ _ _O时,厂(x )。,故f(二)在(0,+二)单调递 增.所以当二1时,.f (二)f(1 ).即当x1恒 有二In2二一ZalnJ+l评注本题主要考查导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式 的方法.解题中要做到基础 知识清晰、运用方法准 确、解题过程完善,并注重提高综合运用知识解决问题 的能力.六、能力检测与评估寻又当人一4时,一婴故。,一婴.j7 r冲7 r2 了一万解法3易知当水深 为4时,水面直径为3,设经秒i后水面上升为夕,.则此时水的增 量近似地(看1.已知函数、 / (
14、川一了+。了+b二+c,若时,y一f (二)有极值.y一f(二)在点(1,f( 1) )处的切线Z不过第四象限成圆柱)为(普)2!“一 2。,故瓮一器Cm/s .且斜率为3,又坐标原点至。切线z的距离为粤1U 答:当水深 为4 cm时,水面升高的瞬时变化率 为8O9兀-一”评注法1从导数定义出发,解决实际问题;法2则从实际问题中先提炼出函数解析式,然后对函数求导,法3是从变化 率的本质人手,运用以直代曲思想使问题获解,解法新颖别致,给人耳目一新之感.变式:己知圆台形水 桶高60 cm,上口直径为6ocm,底面直径为4 0cm,现将水以20。m3/S的流量倒人桶中,当水深为20 cm时,求水面升
15、高的瞬时 变 化率.预测2.用导数研究函数的性质有其独到之处,尤其是研究函数的单调性、极值、最值等一直是历年高考的重点考查对象,因 而0 8年高考也不例外.例2设a)O,、 f (二) 一二一1 一InZ二+Za l二(,O).(l)令F(x ) =了(J, ),讨论F (:,)在(o,+二。)内的单调性并求极值.(2 )求证:当x1时恒有二I nZ二一Za ln二+1.(1 )求a,乃.的值;(2 )求y一f ( 川 在仁一4,1上的最大值和最小值.2 .已知函数j ( -卜音、尸 一分+2了+1一,二:是f (二)的两个极值点,oO当二,(o,2 )时F,(二)O:.F(x)在(0,2 )
16、内是减函数,在( 2,+、)内是增函数在x一 2处取得极小值F(2 )一 2+Za一Z ln 2.(2 )由a妻O知F (2)=2+Za一ZlnZ0,又由(l)知当: e(。.+二)时恒有F(x) 一x厂(二)0,即当二3.已知函数y一尸+3P了+3P二+1(l )试问该函数能否在二二 一1处取到极值?若有可能,求实数P的值;否则说明理由;(2 )若该函数在区间(一1,+二)上为增函数,求实数P的取值范围.(3)记h(二)一f (x) 一f(x),求证:人(l)+h(2)+_h+5_. 二_ 爪j )一”.九气n)l,了。川证明:厂(”-(1+J)eZr一1e了、,*、*,_:二口。f (2 x)+f (2 )尸_、 ,丈 、入U l工范 盖口U夕 吮文义汪,U.们 /尸产、沈,、j (2 )证明:
