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1、2007-12-201第九章第九章 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算?一一 相关概念、性质相关概念、性质?二二 乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法?三三Jacobi方法方法（实对称阵）（实对称阵）?四四 Givenshouseholder方法方法2007-12-2特征值问题：对于特征值问题：对于nn矩阵矩阵A，有数，有数 和和非零非零列向量列向量 x，使，使Ax x 成立。则称数成立。则称数是是A的一个的一个特征值特征值，x叫 做叫 做与特征值与特征值 对应的矩阵对应的矩阵A的特征向量的特征向量。求解方法：原问题等价于求使线性方程组求解方法：原问题等价于求使线性方程组(A- I)x=0有
2、非零解的数有非零解的数 和相应的非零解向量和相应的非零解向量x。setp 1：det(A- I)=0；step 2： (A- I)x=0 的非零向量的非零向量x。高阶的困难；有效方法：迭代法和变换法高阶的困难；有效方法：迭代法和变换法一 相关概念复习一 相关概念复习2007-12-3主特征值、谱半径等主特征值、谱半径等?主特征值主特征值1：按模最大的特征值：按模最大的特征值 |1 | | 2 |3 |n|?谱半径谱半径(A) |1 |，主特征值的模主特征值的模?如果如果det(A)0， AxxA1 x1 x?AxxAkxkx 2007-12-4求矩阵主特征值和相应特征向量的一种迭代法求矩阵主特
3、征值和相应特征向量的一种迭代法。对任一非零向量递推定义对任一非零向量递推定义nRV)0(LL, 1 , 0,)0()2(2)1()(=kVAVAAVVkkkk二 （二 （1）乘幂法）乘幂法形成迭代向量序列形成迭代向量序列)(kV2007-12-5nL21设实矩阵设实矩阵A的特征值为的特征值为 1， 2，, n，相应特征向量 线性无关，相应特征向量 线性无关(意味着矩阵可对角化意味着矩阵可对角化)，且，且nxxx,21L =+=njjjnncccc12211)0(xxxxVL)(11)( jknjjjnjjkkccxAxAV =jk jnjjcx =12007-12-6), 3 , 2(:11n
4、jcasejL=Case 1)(11)( jknjjjnjjkkccxAxAV =jk jnjjcx =1()kk jkjnjjkkcccxxxV+= += =111 12111)(1111)(kckkxV01c2007-12-7111)(xcVkk1 11111)1( 1 )()1()()(=+ikikk ik i cc VV xx) 10V (if(k) ik，2007-12-8Case 2r=L21nr+L11而，则而，则Case 2: Case 2: 主特征值是实重根，如主特征值是实重根，如 =njjk jjkkc10)(xVAV）（)(kV仍然是对应于的近似特征向量仍然是对应于的近似
5、特征向量1jrjjk jk jnrjjjrjjkkcccxxxV =+= +=11 1111)(0x =jrjjc12007-12-9Remark:由于相应于由于相应于 1的特征向量子空间 可能不是一维的，由上式得到的的特征向量子空间 可能不是一维的，由上式得到的V(k）只是该子空间的一个特征向量近似；只 是该子空间的一个特征向量近似；不同的不同的V(0）可能得到线性无关的可能得到线性无关的V(k）。)( i)1( i 1kkVV+ ) 10V (if(k) ik，2007-12-103.3.且为实数，且为实数，21=), 4 , 3(21njjL=Case 3 =njjk jjkkc10)(
6、xVAV）（) 1() 1() 1(221111322111)(+ += =kifccccckkjk jnjjkkkxxxxxV) 1() 1(2211)2( 1222 11)2( 1)2(xxxxVcccckkkkk+=+2007-12-112 1i2 i+）（）（kkVV）（）（kkVVi2 i1/+) 1()(2 1)2(+kifkkVV11)1( 1)( 1)1(2xVVckkk+221 11)( 1)1( 122) 1(:xVVckkkk+=) 1(22111)(xxVcckkk+此情形判定方法：此情形判定方法：V(k)呈有规律摆动，呈有规律摆动，V(k)和和 V(k2)几乎相差正常
7、数因子。几乎相差正常数因子。2007-12-12(实矩阵情形)(实矩阵情形) =+=njjjccc31211)0(xxxV121111 3121111)(xxxxxcccccVkknjjjk jkkk+= =Case 4111xAx=121111xxxAAx=12xx = 可取 可取nkk, 4 , 3121L=，2007-12-13121 1111 1) 1(xxVcckkk+122 1112 1)2(xxVcckkk+121111)(xxVcckkk+0)( 11)1( 11)2(+kkkVVV）（0)()1()2(=+kkkqVpVV上式说明是方程上式说明是方程 2 p q0的一对共轭复
8、根。 系数的一对共轭复根。 系数p、q由下式由下式确定（最小二乘），即确定（最小二乘），即11,jlnjlqVpVVqVpVVk jk jk jk lk lk l =+=+ ,100)()1()2()()1()2() 1()()(22122)( 1)1(11211)( 2)1( + kifxcVVxcVVkkkkkk=+=22212222pqippqip2007-12-15几点说明几点说明(1) 理论上，对于任意给定的初始向量 V(0)，有可能使得式(9.7)中的01=c，此 时可以重新选取初始向量，或者通过算法的迭代误差自行调整 (2) 若式(9.11)或式(9.12)中)(kV的第 i个分
9、量为零，计算其它的分量比值即可 (3) 在用乘幂法求矩阵的主特征值1及对应的特征向量时，迭代向量的分量)(k iV常会出现绝对值非常大(当11)或者绝对值非常小(当11nnL：111111:ALnn2007-12-19)(1)1(kkVAV+=)()1(kkVAV=+=+yUVVLyLUA1)(k(k)2007-12-20反幂法的计算过程反幂法的计算过程(1) 任取初始向量)()0()0(0VVn； (2) 计算)(1)1(kkVAV+=，(L, 2 , 1 , 0=k)； (3) 如果 k 从某时刻起有 cVVk ik i+)()1( （常数）(ni, 2 , 1L=) 则取cn1，而)1( +kV就是与n对应的近似特征向量收敛速度依赖于收敛速度依赖于1nn 2007-12-21?根据反幂法与乘幂法的关系，若已知矩 阵的某个近似特征值后，可以结合原点 平移法与反幂法来求得矩阵的更精确的 特征值与相应的特征向量，且收敛速度 快、精度高 。根据反幂法与乘幂法的关系，若已知矩 阵的某个近似特征值后，可以结合原点 平移法与反幂法来求得矩阵的更精确的 特征值与相应的特征向量，且收敛速度 快、精度高 。
