多元函数微分法及其应用-多元函数的偏导数

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1、多元函数的偏导数多元函数的偏导数第八章第八章 第二节第二节二、典型例题二、典型例题一、主要内容一、主要内容三、同步练习三、同步练习四、同步练习解答四、同步练习解答一、主要内容一、主要内容1.引例引例研究弦在点研究弦在点 x0处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度 , 就是将就是将中的中的 x 固定求固定求),(txu于于x0 处,处,),(0txu振幅振幅t 的一阶导数与二阶导数的一阶导数与二阶导数.弦线的振动问题弦线的振动问题. （一）偏导数的概念（一）偏导数的概念关于关于),(txu0xoxu),(0txu2. 定义定义8.6的的在点设函数在点设函数),(),(000yxPyxfz =

2、=.)(0内有定义内有定义某邻域某邻域PU,0yy在若当固定在若当固定处的导数存在，即在处的导数存在，即在0xx = =xyxfyxxfx + + ),(),(lim0000 0在点存在，则称此极限为在点存在，则称此极限为),(yxfz = =处处),(00yx对对x 的的偏导数偏导数，记为，记为;),(00yxxz ;),(00yxxf ;),(00yxxz. ),(00yxfx),(0yxfz= =0),(dd 0yyyxfy= = =同样可定义同样可定义lim 0 = = y) ,(0xf),(0xf y yy + +00y),(00yx函数函数 f(x, y) 在点对在点对 y 的偏导

3、数的偏导数),(00yxfyxyxfyxxfx + += = ),(),(lim000000),(dd 0xxyxfx= = =),(00yxfx注注).,(00yxfy;),(00yxyz ;),(00yxyf ;),(00yxyz记为记为注注 1 偏导函数偏导函数 z = f ( x , y ) 在域在域 D 内每一点内每一点 ( x , y )若函数若函数偏导数偏导数 , 记为记为处对处对 x的（或的（或 y )偏导数都存在偏导数都存在 , 称该偏导数为称该偏导数为z = f(x, y) 对自变量对自变量x (或或y)的的偏导函数偏导函数, 也简称为也简称为,xzxf xz ),(, )

4、,(1yxfyxfx 2( , ),( , ) )yfx yfx y (,yzfzyy 由此可知：由此可知：),(0000),(),(yxxxyxfyxf= =),(0000),(),(yxyyyxfyxf= =2 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfx例如:例如: 三元函数三元函数 u = f (x , y , z) 在点在点(x , y , z) 处对处对 x 的的lim 0= = x), (zyf),(zyf x xx + +?),(= =zyxfy?),(= =zyxfzx偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)3 可可(偏偏)导导

5、处的两个偏导数在点若处的两个偏导数在点若),(),(00yxyxfz = =),(),(),(0000yxfyxfyxfyx均存在，则称均存在，则称.)(),(00导偏处可在点导偏处可在点yxxz xz 偏导数是一个整体记号，不能看作分子偏导数是一个整体记号，不能看作分子4xz 与分母的商与分母的商 !5，为分段函数，分段点为若为分段函数，分段点为若00),(xyxf.),(00时，须用偏导数定义则求时，须用偏导数定义则求yxfx3.多元函数在一点连续与偏导数存在的关系多元函数在一点连续与偏导数存在的关系对于对于一元一元函数：函数：可导可导连续连续对于对于多元多元函数：函数：可（偏）导可（偏）

6、导连续连续由偏导数的定义可知由偏导数的定义可知, 偏导数的计算可归结偏导数的计算可归结为一元函数的导数计算为一元函数的导数计算.),(00（二）偏导数的计算（二）偏导数的计算yxfx0),(dd 0xxyxfx= = =),(00yxfy 0),(dd 0yyyxfy= = =求某个具体 的点处的偏 导数时方便求某个具体 的点处的偏 导数时方便,),(),(,(00000上一点为曲面设上一点为曲面设yxfzyxfyxM= =（三）偏导数的几何意义（三）偏导数的几何意义如图如图xTM0xyzo0yy = =0M),(00yxP = = =0),( yyyxfz 0d),(d0xxxyxf= =

7、=),(00yxfx= = tan = = =00),( yyyxfz= = tan 0000),(dd),(yyyxfyyxfy= = =是曲线是曲线= =0),(xxyxfzyT在点在点 M0 处的切线处的切线M0x对对 y 轴的斜率轴的斜率.yzoyTM0 0xx = =0M),(00yxP = = =0),( xxyxfz（四）高阶偏导数（四）高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxz yx= =若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz )(xz y 则称它们是则称它们是z =

8、 f ( x , y )的的二阶偏导数二阶偏导数 .按求导顺序不同按求导顺序不同, 22xz =);,(yxfxx= =yxz =2 ),(yxfyx= =x 有下列四个二阶偏导数有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322 )(xz xz x= = z = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , 再关于再关于) (y yxz nn= 1y 的一阶偏导数为的一阶偏导数为11 nnxz)(yz x ),()(22 yxfyz yz yyy= =

9、 );,(2 yxfxyz xy=,),()()(00连续都在点和若连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx= =则则定理定理例如例如, 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx= = =本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立元函数的高阶混合偏导数也成立.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx= = = =当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有问题：问题：具备怎样的条件，混合偏导数 相等？具备

10、怎样的条件，混合偏导数 相等？.,)0 ,0(:22但两个偏导数均不存在点连续在函数证明但两个偏导数均不存在点连续在函数证明yxz+=+=二、典型例题二、典型例题证证,0 取取22)0()0(+yx则当则当222200+ yx, .)0 ,0(处连续故函数在点处连续故函数在点便有便有,22时时yx+=+=22yx+=+=例例1xfxfx)0 ,0()0 ,(lim 0 但但xxx0lim20= xxx0lim = =为分段函数为分段函数，xxxf=2)0 ,(.)0 ,0(时，须用偏导数定义故求时，须用偏导数定义故求xf0= =x分段点：分段点：,此极限不存在此极限不存在.,的偏导数也不存在关

11、于自变量 的偏导数也不存在关于自变量同理同理y点处关于故函数在点处关于故函数在)0 ,0(.的偏导数不存在的偏导数不存在自变量自变量x注注 对于对于二元二元函数：函数：可偏导可偏导连续连续xy zo例例2设设 =+= =+=0, 00,),(2222 22yxyxyxxy yxf, .)0 , 0(),()0 , 0(),0 , 0(处的连续性在，并讨论求处的连续性在，并讨论求yxfffyx解解(方法方法1)xfxff xx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0( 0 = = 0= =. 0)0 , 0(= =yf同理可求得同理可求得xxxx0 00lim20 += += 22 00 00

12、lim),(limyxxyyxfkxyx kxyx+=+= = = =Q220)(limkxxkxxx+=+= 21kk +=+=其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，.lim),(lim22 00 00不存在不存在yxxyyxfyx yx+=+= 从而从而 f (x , y) 在点在点(0 , 0)并不连续并不连续!(方法方法2) =+= =+= 0,00,),( 2222 22yxyxyxyx yxfz0)0,(dd)0, 0(=xxfxfx0), 0(dd)0, 0(=yyfyfy0= =0= =, 0)0 ,( xfQ, 0), 0( yf注注 对于对于二元二元函数：函数： 可

13、偏导可偏导连续连续例例3 求求223yyxxz+=+=解解(方法方法1)= xz)2, 1(xz 在点在点(1 , 2) 处的偏导数.处的偏导数.,32yx+ += yzyx23+ +,82312= = + + = =)2, 1(yz 72213= = + + = =先求后代先求后代)2, 1(xz )2, 1(yz 1)62(=+=+=xx8= =1= =xz231yy+=+=22)31(dd = =+=+=yyyy7= =先代后求先代后求1d)2 ,(d = = =xxxz 12)46(dd = =+=+=xxxx2)23(= =+=+=yy462+=+=xx2= =yz(方法方法2)2d

14、), 1(d = = =yyyz例例4解解yxyxz轴正向的夹角处的切线与在点求曲线轴正向的夹角处的切线与在点求曲线)3, 1 , 1(, 1,122 =+=+=有根据偏导数的几何意义有根据偏导数的几何意义,11tan = = yxyz 1122122= =+= += yxyxy31= =6 =故=故yxe22+ += =例例5 求函数求函数yxez2+ += =.23xyz 解解= 22xz) ( 223xyz xxyz = = yz= xyz2 = yxz2= 22yz注注此处此处,22xyz yxz = =但这一结论并不总是成立.但这一结论并不总是成立.yxe22+ +yxe2+ +yxe22+ +yxe22+ +yxe24+ +的二阶偏导数及的二阶偏导数及= xzyxe2+ +问题：问题：二阶混合偏导数一定都相等吗？二阶混合偏导数一定都相等吗？不一定！例如：不一定！例如：= =),(yxf0,22 2222 +yxyxyxyx0, 022=+=+ yx= =),(yxfy= =),(yxfx0, 022=+=+ yx0,022=+=+ yx