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1、第三章 概率分布与抽样分布(Distribution and Sample Distribution)一、概率与概率分布（一）概率通俗地说，概率就是机率。在相同条件下进行n次随 机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频 率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且 波动的幅度逐渐减小，趋向于稳定，这个频率的稳定值 即为事件A的概率，记为P（A）=m/n。条件概率：A、B为两个随机事件，P（AB）称为事 件B发生的前提下事件A发生的条件概率。P（AB）= ，P（B）0。由于增加了新的条件（附加信息），一般说来，P（ AB）P（A）。乘法公式：将条件概率公式变形可得：P（AB）
2、=P（B）P（AB）将上式中A、B的位置对调，可得：P（AB）=P（A）P（BA）以上两式统称概率乘法公式。全概率公式与逆概率公式：1、完备事件组若事件A1、A2、An互不相容（互斥），且其中之一 必然发生，则事件A1、A2、An组成完备事件组。即A1A2An=， AiAj=（ij）2、全概率公式若事件A1、A2、An为完备事件组，则对任一事件B ，有一、概率与概率分布（二）概率分布概率与随机变量密不可分。随机变量：离散型、连续型。概率分布：随机变量取一切可能值的概率的规律称 为概率分布，即P（x=everyprobnumber）=?概率分布可以用表、图形或公式等多种方式来表示 。二项分布：只
3、有两种可能结果的试验称为贝努利试验。n次独立 重复的贝努利试验称为n重贝努利试验。在n重贝努利试 验中，结果A（成功）出现m次的概率分布为：其中： 几何分布：在可列重贝努利试验中，结果A（成功）在第m次首 次出现的概率分布为：二项分布、几何分布都是贝努利试验导出的分布。超几何分布：二项分布与几何分布都是在n重或可列重相互独立的 贝努利试验中形成的。那么，如果这种试验不是相互独 立的呢？比如：假定有一批500个产品，而其中有5个次品。假定该 产品的质量检查采取随机抽取20个产品进行检查。如果 抽到的20个产品中含有2个或更多不合格产品，则整个 500个产品将会被退回。这时，人们想知道该批产品被退
4、回的概率是多少。 该概率满足超几何分布(hypergeometric distribution) 。这样的抽样一般采取“不放回抽样”，也就是说， 每次抽取之后并不放回。在这种情况下，每次抽取之后 ，总体之中的合格和不合格品的比例都会发生变化，和 以前不一样了，因此，每次试验不再是独立的贝努利试 验，在n次试验中，结果A（成功）出现m次的概率分布也 就不再服从二项分布，而是服从超几何分布：其中N为产品总数，n为试验次数也即抽取出的产品 数；K为产品中结果A的总数也即产品中的总次品数。一、概率与概率分布（三）概率密度函数与累积概率分布函数连续型随机变量不好讲概率分布，所以讲累积概率 分布，P(x=
5、30的条件，样本均值也近似服从正态分布，即：同理，对于两个相互独立的正态总体N（1，12）、N（2，22），假设我们从这两个总体中分别抽取一个n1、n2个观察值组成的样本，那么，这两个样本均值的差也服从正态分布，即：思考：如果这两个总体不是正态总体而n1、n2足够大，样本均值差的分布形态还是这样的吗？标准正态分布N(0，1)：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以化为标准正态分布，即 N（0，1）。所以，说一个随机变量服从正态分布，与说它服从标准正态分布没什么太大差别，因为它可以转化为标准正态分布。数据的标准得分：我年收入60万，多吗？两个水平类似的班级（一班和二班）上同一门课
6、，但是由于两个任课老师的评分标准不同，使得两个班成绩的均值和标准差都不一样(数据：grade.txt)。一班的平均分和标准差分别为78.53和9.43，二班的均值和标准差分别为70.19和7.00。那么，一班得90分的张颖是不是比二班得82分的刘疏成绩更好呢？怎么比较才更合理呢？数据的标准化：虽然均值和标准差不同的数据不好直接比较，但是可以把它们进行标准化，再比较标准化后的数据。数据标准化的方法主要有两种；数据标准化后得到的值称为标准得分（standard score、z-score）：可以看出，原始数据在各自的均值附近，离散程度 也不一样。但它们的标准得分则在0周围，且离散程度也 差不多。数
7、据经过标准化后，均变换成均值为0、方差为 1的样本。标准化后的数据没有量纲；不同样本观测值的 比较只有相对意义，没有绝对意义。10097N =?1101009080706050402110097N =?3210-1-2-3-421三、 分布若X1、X2、Xn相互独立，且均服从标准正态分布N（0，1）。则随机变量Y=X12+X22+Xn2的概率分布为自由度为n的 分布，简记为Y （n）。自由度：变量的自由程度。对于样本方差S2，则：比如，有些产品出厂时不仅需要标注其性能参数均 值，而且要标明均值的方差（标准差）。为了估计某产 品能耗的方差，我们随机抽取了10件，测得其能耗为（ 千瓦时/小时）：1
8、2.5，12.12，12.01，12.28，12.09， 12.03，12.01，12.11，12.06，12.14。那么，当其能耗x服从正态分布时：思考：在上一张片子中，下面的统计量是严格服从卡方分 布还是近似服从卡方分布？为什么？再比如，为研究家庭食品支出与收入的关系，随机 抽取了10户家庭作为样本，得到如下数据：那么，当食品支出y服从正态分布时：下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩。思考： 服从卡方分布吗？如果服从，其自由度是多少？如果不服从，那在什么情况或什么条件下服从？四、t分布若随机变量XZ（0，1），Y （n），且X、Y相互独立，则随机变量Z= 服从自由度为n的t分布，简记
9、为Zt（n）。t分布概率密度曲线图如下：特点：1、t分布为对称分布；2、n充分大时，t分布 近似Z（0，1）。 考察统计量其中，分子 ，分母中 。因此，Tt（n-1）。五、F分布若随机变量X （n1），Y （n2），且X、Y相互独立，则随机变量Z= 服从自由度为（n1，n2）的F分布，简记为ZF（n1，n2）。F分布的概率密度曲线如下： 比如，下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩 。假设两个班的学生成绩相互独立且都服从正态分布， 那么，要分析两个班学习成绩的分化程度，我们可以考 察下面的统计量：比如，下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩 。假设两个班的学生成绩相互独立且都服从正态分
10、布， 那么，要分析两个班学习成绩的分化程度，我们可以考 察下面的统计量：六、随机变量X与Y相互独立的充要条件：1、离散变量：P（X=xi，Y=yi）= P（X=xi）P（Y=yi）（边缘概率分布之积等于联合概率分布）2、连续变量：f（x，y）=fX（x）fY（y）（边缘概率密度之积等于联合概率密度）R软件中的统计计算：常用分布：norm：正态；t：t分布；f：F分布；chisq：卡方分布；unif：均匀分布；binom：二项分布。每种分布有四个函数：ddensity（密度函数）；pprobability(概率分布函 数)；qquantile(分位数函数)；rrandom(随机数函数)。如，对于
11、正态分布来说：dnorm、pnorm、qnorm、rnorm。 pnorm(0,0,1); rnorm(100,0,1); qnorm(0.975,0,1)#画正态分布概率密度曲线（N（0，1)，N（0，22)，N（0，32） x=seq(-6,6,length=2000) plot(x,dnorm(x,0,1),type=“l“,lwd=3,xaxs=“i“,yaxs=“i“,font=3,ylab=“Dens ity of Normal“, main=“正态分布概率密度曲线(=0)“,col=“red“, pch=4) points(x,dnorm(x,0,2),type=“l“,lwd=
12、3,col=“red“) #增加N（0，22)概率密 度曲线 points(x,dnorm(x,0,3),type=“l“,lwd=3,col=“red“) #增加N（0，32)概率密 度曲线 #以下两句主要是把-1左边的区域加上竖线 x1=seq(-6,-1,length=30) points(x1,dnorm(x1,0,1),type=“h“,lwd=2,col=“dark green“) #把-1左边区域 加上竖线 text(-1,0.01,labels=“if Xz(0,1)，p(Xtext(locator(1),“=1“,adj=0);text(locator(1),“=2“,adj=0);text(locat or(1),“=3“,adj=0) #通过鼠标直接点击给图形加上文字
