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1、天津工程师范学院机械控制工程基础院级精品课1习题集习题集 第二章第二章物理系统的数学模型及传递函数物理系统的数学模型及传递函数1求图求图 2- 1 所示矩形脉冲的象函数所示矩形脉冲的象函数 【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为 tTTtAtf00)(所以，)(tf可以看作两个函数的叠加 )( 1)( 1)(TtAtAtf 即可求得其象函数)1 ()()()(21sTesAtfLtfLtfL或直接运用拉氏变换定义式求取)1 ()()( 000sTTstTststesA sedAdtAedtetftfL 2 求求1324)(2ssssF的拉氏反变的拉氏反变换换。【解】)(sF的部分分式为112
2、) 1)(12(4 1324)(21 2sk sk sss ssssF求系数1k、2k3) 1() 1)(12(47) 12() 1)(12(412211 sssssskssssktteessLsFLtf 35 . 313 127)()(5 . 0113求下面象函数的原函数求下面象函数的原函数) 1(1)(2sssssF【解】)(sF的部分分式为) 1()() 1( 1) 1(1)(2322 1 2321 2sssskskssk ssksk sk sssssF由等式相等，所以可知 skskssks)() 1(1322 1 解得)(tf图 2- 1天津工程师范学院机械控制工程基础院级精品课211
3、k；12k；03k )(sF的部分分式可求得22222866. 0)5 . 0(866. 0578. 0 866. 0)5 . 0(5 . 0111)(sss ssss ssF注：866. 0578. 05 . 0 则)(sF的拉氏反变换为 tetesFLtftt866. 0sin578. 0866. 0cos1)()(5 . 05 . 014 求下列象函数的拉氏反变换求下列象函数的拉氏反变换。)3()2(1)(3ssssF【解】运用部分分式展开法，有3)2()2()2()(3213 212 311 sk sk sk sk sksF求得待定系数31 )2(1)3)(241 )3()2(1)(8
4、3 )3(1 dd 21)2)(dd ! 2141 )3()32( )3(1 dd)2)(dd21 )3(1)2)(3333030222223 2213222223 12223 11 sssssssssssssssFkssssFksssssFsksss sssssFskssssFk)(sF的部分分式为33/124/1 )2(8/3 )2(4/1 )2(2/1)(23ssssssF分别查表可求得)(sF的拉氏反变换为241 31)211(4131 241 83 41 41)()(322322221tttttteetteeteetsFLtf5解方程解方程6)(6)(5)(tytyty ，其中其中，
5、2)0(, 2)0(yy 【解】将方程两边取拉氏变换，得ssYyssYysysYs6)(6)0()(5)0()0()(2将2)0(, 2)0(yy 代入，并整理，得34 251 )3)(2(6122)(2sssssssssY天津工程师范学院机械控制工程基础院级精品课3所以tteety32451)(6将非线性方程将非线性方程2221xxxxy 在原点附近线性化在原点附近线性化。【解】根据式（2- 3） ，线性化后的方程应为Axxyxxyxxyy 000 而2)22(0 0 xxxy210 xy ，10 xy ，0A故线性化后的方程为xxxy 212分析：本题方程中只有2x是非线性项，只要将2x在
6、原点线性化就可以了。2x在原点线性 化的结果是0)2(002 xxxxxx 所以，线性化后原方程式右边只剩下前三项线性项。7求图求图 2- 2 所示所示系统输入为系统输入为iu，输出为输出为ou时的传递函数时的传递函数)()( sUsUiouiuoR1R2CuiuoR1R2C（a）（b）图 2- 2无源电网络 【解】根据基尔霍夫定律，采用运算阻抗的方法，所以传递函数为（a）1)(1 11)()(212212 CsRRCsRCsRRCsRsUsUio（b）2121221112211)()( RRCsRRRCsRRCsRCsR RR sUsUio 天津工程师范学院机械控制工程基础院级精品课4【提示
7、】基尔霍夫定律的时域表示式为：对任一结点，0)( ti；对任一回路，0)(tu。电阻R的运算阻抗就是电阻R本身， 电感L的运算阻抗是Ls， 电容C的运算阻抗是Cs1， 其中s为拉氏变换的复参量。把普通电路中的电阻R、电感L、电容C全换成相应的运算 阻抗， 把电流)(ti和电压)(tu全换成相应的拉氏变换式)(sI和)(sU， 因此可得到根据拉氏 变换的线性性质而得出基尔霍夫定律的运算形式为：0)(sI；对任一回路，0)(sU。 于是我们可以采用普通的电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律和电压定律，经过简单 的代数运算，就可求解)(sI、)(sU及相应的传递函数。采用运算阻抗的方法又称为运算 法，
8、相应的电路图称为运算电路。8求图求图 2- 3 所示有源电网络的传递函数所示有源电网络的传递函数，图中图中)(1tu、)(2tu分别是输入和输出电压分别是输入和输出电压。)(1tu )(2tu1R2R1C2C)(1tu)(2tu1R3R2R1C2C)(3tu（a）（b） 图 2- 3有源电网络 【解】 （a）由图（1）求得，根据理想运算放大器反相输入时的特性，有 sCRsCRCC RRsCRsCRsCRsUsU12 212112111122121111)()(这也是 PID 控制器。 （b）设电压)(3tu如图所示。 由0)()( 1)( 1)(32323123 RsUsUsCsUsCRsU得
9、)(11)(323 1213 2sUsCRsCRsCRsU 得01)()(12311 sCRsU RsU由此可得)(1)(3 1211 1sUsCRsCRsU天津工程师范学院机械控制工程基础院级精品课5最后联立上述方程，解得 sCRsRCRR CRCRCRCR sUsU11123211132312121 )()(这是 PID 控制器。 提示：上述传递函数是在理想运算放大器及理想的电阻、电容基础上推导出来的， 对于实际元件来说，它只是在一定的限制条件下才成立。9试求图试求图 2- 4 所示机械平动系统输入为所示机械平动系统输入为x，输出为输出为y时的传递函数时的传递函数)()( sXsYm1kx
10、yf2kBx1k2k（a）（b） 图 2- 4机械平动系统 【解】 （a）根据牛顿第二定律，列写动力学微分方程tdydmykyxkdtyxdf2221)()(即0)()(1222 yxkdtyxdfyktdydm进行拉氏变换并整理 )()()()(1212sXkfssYkkfsms 得2121 )()( kkfsmskfs sXsY （b）设 B 点位移为Bx，根据 B、C 点力平衡关系列写方程 对于 B 点dtyxdfxxkB B)()(1对于 C 点ykdtyxdfB 2)(上面两个方程两边同时进行拉氏变换（初始条件为 0） ，有 )()()()(1sYsXsfsXsXkBB )()()(
11、2sYksYsXsfB 解上述方程组，得天津工程师范学院机械控制工程基础院级精品课6)()()(21211 kkfskkfsk sXsY 【提示】机械系统的建模可根据牛顿第二定律或达朗伯原理推导。牛顿第二定律：一物 体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向。 达朗伯原理：作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系。达朗伯原理用公 式可表示为：0iFxm ，其中，iF是作用在物体上的合外力；x 是物体的加速度； m是物体的质量；xm 是物体的惯性力。 对于机械系统的建模，取质量、弹簧、阻尼之间相关的连接点进行受力分析，并根 据牛顿第二定律建立该点处的力平衡
12、方程；当有些连接点处的运动未知时，可认为是中 间参考点，联立方程后即可消去。10齿轮传动的动力学分析齿轮传动的动力学分析。设有如图 2- 5a 所示的齿轮传动链，由电动机 M 输入的扭矩为mT，L 为输出端负载，TL为负载扭矩。图中所示的iz为各齿轮齿数，J1、J2、J3及1、2、3分别为各轴及相应 齿轮的转动惯量和转角。mT1J1z11T2T2z2J23z4z3T4T3J3LTmTeqJeqfLeqTeqL(a)原始轮系(b)等效轮系 图 2- 5齿轮传动链【解】假设各轴均为绝对刚性，即JK，可得如下动力学方程LmTfJTTfJTTfJT3333432222211111 式中1f、2f、3f
13、传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；1T 齿轮1z对mT的反转矩；2T 2z对1T的反转矩；3T 3z对2T的反转矩；4T 4z对3T的反转矩；LT 输出端负载对4T的反转矩，即负载转矩。 由齿轮传动的基本关系可知1 4321 2 43 33 34 41 21 21 12 2,zz zz zzTzzTzzTzzT天津工程师范学院机械控制工程基础院级精品课7于是可得 LmTfJzzfJzzfJT2333 43 2222 21 1111 LTzz zzfzz zzfzzfJzz zzJzzJ 4321 1324321 2221 11324321 2221 1 324321 2221 1Jzz zzJzzJJeq 称为等效转动惯量；324321 2221 1fzz zzfzzffeq 称为等效阻尼系数；LLeqTzz zzT 4321称为等效输出转矩。将上式改为LeqeqeqmTBJT11 则图 2- 6a 所示的传动装置可简化为图 2- 6b 所示的等效齿轮传动。11画出下列画出下列 RC 电路的方框图电路的方框图。RiiuouC图 2- 6一阶 RC 网络 【解】利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得Ruuioi，cidtuo对其进行拉氏变换得R
