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1、西南财经大学本科期末考试试卷西南财经大学本科期末考试试卷西南财经大学本科期末考试试卷西南财经大学本科期末考试试卷课程名称： 高等数学下册担任教师：考试学期：2008 2009学年第 二 学期专业：学号：年级：姓名：考试时间：2009年 6 月 日（星期）午：-：课程名称： 高等数学下册担任教师：考试学期：2008 2009学年第 二 学期专业：学号：年级：姓名：考试时间：2009年 6 月 日（星期）午：-：题号一二三四五六七八总分阅卷人成绩出题教师必填：出题教师必填：出题教师必填：出题教师必填：1、考试类型：闭卷闭卷。2、本套试题共道大题，共页，完卷时间分钟。3、考试用品中除纸、笔、尺子外，
2、可另带的用具有：计算器 字典 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选内打钩）考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。5、严格遵守考场纪律。w w w .z h i n a n c h e .c o m2一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 2 2 2 分，共分，共 20202020 分） ：分） ：1. 微分方程230yyy=的通解为.2.,1,0,450xyzd+=点(2)到平
3、面3的距离.3过点(1,1,1)M，且垂直向量2nijk=+的平面为4. 设()()2222,xyfxy xyexy+=，则()2, 2f=.5. 若xyyxf=),(，且0y，则), 1 (efxy =.6. 设函数181261),(222zyxzyxu+=，单位向量1 , 1 , 131=n，则 )3,2,1(nu =.7. 二次积分2110yxdxe dy=.8. 设( , )f x y连续，且( , )2( , )Df x yxyf u v dudv=+, 其中22( , )2 Dx y xyx=+，则( , )f x y.9已知椭圆22 143xy+= 的周长为a, 则32(34)x
4、yds+ .10. 将函数( )2xf xe=展为x的幂级数为2xe=.二、选择题（每小题二、选择题（每小题 2 2 2 2 分，共分，共 10101010 分）分） ：1. 方程()dyxxydxdydxxy232+=+是（）. 变量可分离方程 齐次方程 一阶线性方程 以上均不正确2下列曲面中，() 是平行x轴的柱面223xy+=22xzy=+22zx=22231yz+=3 设方程2222xyzxyz+=确定了函数( , )zz x y=， 则( , )z x y在点(1,0, 1)处的全微分dz=（）.2dxdy2dxdy+w w w .z h i n a n c h e .c o m32
5、dxdy2dxdy+42112200()xdxf xy dy+=()(1)1202()f rdr10( )8rf r dr1202()rf rdr1220()8f rdr5下列关于函数的结论中正确是() 驻点一定是可微分极值点 可微分极值点一定是驻点 有极大值一定有最大值 有最大值一定有极大值二、解答题（每小题二、解答题（每小题 7 7 7 7 分，共分，共 56565656 分）分） ：1求微分方程xyyy=的通解.2求“2yyx+= 微分方程的通解 .w w w .z h i n a n c h e .c o m43. 设yxzarctan=，求zzxyxy+.4. 设(,)0axbz c
6、ydz+=，验证1dzbz cyax=.5求二重积分Dydxdy，其中D由y=x2，y=1 及y轴所围成.w w w .z h i n a n c h e .c o m56 设L为正向圆周222=+yx在第一象限中的部分， 求曲线积分Lydxxdy2的值.7. 求幂级数=+11nnnx的收敛区间.8求幂级数211( 1)(1)2n nnxxn=+的和函数f(x).w w w .z h i n a n c h e .c o m6四、应用题（每小题四、应用题（每小题 8 8 8 8 分，共分，共 8 8 8 8 分）分） ：某厂生产甲、乙两种型号的汽车，当日产量分别为 x 辆、y 辆时，总成本函数
7、22 21),(yxyxyxC+=（万元）总收入函数为yxyxR24),(+=，且两种汽车日产量共 19 辆。问各生产多少辆时，总利润最多？四、证明题（每小题四、证明题（每小题 6 6 6 6 分，共分，共 6 6 6 6 分） ：分） ：证明：22 2222, 0( , )0, 0xyxyxyf x yxy+= +=在点(0,0) 处不连续但偏导数存在.w w w .z h i n a n c h e .c o m72008级高等数学期末试题参考解答一、填空题（每小题2008级高等数学期末试题参考解答一、填空题（每小题 2 2 2 2 分，共分，共 20202020 分） ：分） ：1.()
8、为任意常数2123 1,CCeCeCyxx+=.；2.2 ；312(1)(1)022xyzxyz +=+=或；4.22e;5.2;6.33;7.1(1)2e;8.xy;9 12a;10.0( 2) !nnnx n=.三、选择题（每小题三、选择题（每小题 2 2 2 2 分，共分，共 10101010 分）分） ：1. ；2；3；4；5.四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 7 7 7 分，共分，共 56565656 分）分） ：1解：解：将原方程化为一阶线性非齐次方程11=+xydydx3 分所以原方程的通解为11112dydyyyCxeedyCyy=+=+ .7 分2解：解：所给方程对应
9、的齐次方程为 “0yy+=特征方程为10+ =，特征根为i= 2 分所以对应齐次方程的通解为* 12cossinyCxCx=+4 分设非其次方程的特解形式为10AxAy+=yAx=代入原方程解的2A= , 于是非齐次方程的一个特解为2yx= 6 分故原方程的通解为122cossinyxCxCx= +.7 分w w w .z h i n a n c h e .c o m83. 解：解：222 222 2)( )(11,1)(11 yxx yxyxyz yxy y yxxz += += += +=6 分22220xyxyzzxyxyxyxy+=+7 分4. 解：解：12(,)()()0xxaxbz
10、 cydz abzdz+ =12(,)()()0yyaxbz cydz bzcdz+=3 分122121,aczz xdbydb =6 分2121211dbdzb z cya xdbdb= 7 分5解解: : : :2110xDydxdydxydy=3 分2311202|3xydy=5 分1303221(1)33 42x dx=7 分6解：解：正向圆周222=+yx在第一象限中的部分，用参数方程可表示为.20:,sin2,cos2 =yx2 分于是 dydxxdy Lsin2sin22cos2cos222 0+=5 分=.23sin22 02 =+d7 分7.解解：11121limlim1=+
11、= +nn aannnn, 所以收敛半径为 1.2 分当x= 1 时, 得级数=+111nn发散,4 分1yxw w w .z h i n a n c h e .c o m9当x= 1 时, 得级数=+11) 1(nnn收敛.6 分于是收敛区域为1, 1).7 分8解解: : : :21 2 1( )( 1)1nnnxfxxx = +3 分上式两边从 0 到x积分，得2 201( )(0)ln(1)12xtf xfdtxt= = +6 分由f(0) = 1, 得21( )1ln(1),(1)2f xxx= +7 分四、应用题（每小题四、应用题（每小题 8 8 8 8 分，共分，共 8 8 8
12、8 分）分） ：解解：设总利润函数为22 2124),(),(),(yxyxyxyxCyxRyxL+=2 分约束条件为x+y= 19)19(2124),(22+=yxyxyxyxyxF4 分+=+=yxyxFyxyxFyx2),(,24),(令 =+=+=+01902024yxyxyx解得 =118yx7 分由于实际问题存在最大值，所以工厂分别生产甲、乙两种型号的汽车 8，11 辆时，总利润最多，5 .17)11, 8(max=L（万元） 。8 分四、证明题（每小题四、证明题（每小题 6 6 6 6 分，共分，共 6 6 6 6 分） ：证明：分） ：证明：因为= =+=+=+= 1,210, 01)1 (limlim),(lim2222022 00 00kkkk xkkxkxyyxxyyxf x yx yx令所以),(lim00yxfyx 不存在, 所以),(yxf在点(0, 0) 处不连续,3 分但( ,0)(0, )0f xfy=，则(0,0)(0,0)0xyff=故( , )f x y在点(0,0) 处偏导数存在.6 分w w w .z h i n a n c h e .c o m
