初等数学研究教案

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1、教教 案案课 程 名 称： 初等数学研究 任 课 教 师： 陈宏道 教 师 所 在 单 位： 统计系 课课程程简简介介初等数学研究是初等教育专业的专业课。它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。初等数学研究包括初等代数研究和初等几何研究两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。根据高等师范学校数学专业的培

2、养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。对于中学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等

3、数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。初等数学研究教案授课章节第 1 章 第 1 节任课教师陈宏道教学方法 与手段讲授法、探究式课时安排2 学时使用教材 和 主要参考 书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求： 引导学生掌握数系扩充的必要性及数系扩充的必须遵循的四个原则。教学难点与重点： 重点：数系扩充的方法 难点：数系扩充必须遵循的原则教学内容： 1 数系扩充概述 本节研究数系发展的原则和方法。 若从数学学科本身发展的需要来看，扩充的必要性常从两方面来说明：

4、（1）某一运算的逆运算在原有数集中不能完全实施； （2）某一方程在原有数集中无解.数的扩充方法一般有两种.一种是在已建立的数系 A 中添加一类新数的集合，构成扩集A B，例如，在非负有理数集 Q+0基础上添加负有理数集 Q，构成有理数集 Q=Q+0Q-.另一种方法是先用旧数集 A 中的数为材料构成一个新数集 B，然后指出新数集 B 中某一真 子集与 A 相等（严格讲，是 B 的某个真子集与 A 同构） ，复数系的建立就是采用这一种方法. 从数集 A 扩充为数集 B，不论采用哪一种方法，都必须遵循下列原则： （1）A B，即集 A 集 B 的真子集； （2）集 A 中已定义的元素之间的基本关系和

5、运算，在集 B 中也有相应的定义，并且集 B 中 的定义，对于 B 的子集 A 中的元素来说，与原来 A 中的定义一致； （3）在 A 中无解的某类方程，在集 B 中有解； （4）B 是满足上述三个原则的 A 的所有扩充中的最小扩充。 由于“某一运算的逆运算在原由数集中不能完全实施” ， “某一方程在原有数集中无解” ，使 得数集扩充有着必要性。数集的过冲有 “添加新元素法”和 “构造法” 两种。从数集 A 扩充 到数集 B，不论采用哪一种方法都必须遵循四个原则。 复习思考题、作业题： 自由选择一本数学史教材，理解数对于整个数学理论的重要性，写出一篇简短的论文。授课章节第 1 章 第 2 节任

6、课教师陈宏道教学方法 与手段讲授法、探究式课时安排2 学时使用教材 和 主要参考 书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求： 使学生理解和掌握自然数的序数理论，并能掌握和灵活地运用数学归纳法解题。教学难点与重点： 重点：自然数的序数理论。 难点：自然数的公理系统。教学内容：2 自然数 本节研究自然数的序数理论。 定义 1 非空集合 N中的元素叫做自然数,如果 N 的元素之间有一个基本关系“后继”(b 后 继于 a,记为 b=a)，并满足下列公理： （1）1N，1 不是 N 中任何元素的后继元素；

7、 （2）对 N中任何元素 a，有唯一的 aN； （3）对 N中任何元 a，如果 a1，则 a 必后继于 N 中某一元素 b； （4） （归纳公理）如果 MN，且1M；若 aM，则 aM. 那么，M= N. 这个系统称为皮亚诺公理系统. 定理 1 自然数的加法满足结合律与交换律.即对任何 a、b、cN，有 （1）a+（b+c）=（a+b）+c； （2）a+b=b+a. 证明 （1）设 a、b 是给定的两个自然数，令集合 M=c|a+（b+c）=（a+b）+c. 由于（a+b）+1=（a+b）=a+b=a+（b+1） ，所以 1M. 若 cM，即（a+b）+c=a+（b+c） ，则 a+（b+c）

8、=a+（b+c）=（a+（b+c） ）=（a+b）+c）=（a+b）+c.于是，cM.根据归纳公理，M=N.再由 a、b 的任意性知 a+（b+c）=（a+b）+c 成立. （2）先证对任意的 aN，1+a=a+1 成立. 设集合 M=a|a+1=1+a. 因 1+1=1+1，所以 1M. 若 aM，即有 a+1=1+a，于是a+1=（a+1）+1=（1+a）+1=1+（a+1）=1+a.这表明 aM.由归纳公理，M=N，即对所有自 然数 a，1+a=a+1 成立. 再证 a+b=b+a 成立. 令集合 M=b|a+b=b+a.由上述证明知 1M. 若 bM，则a+b=a+（b+1）=（a+b

9、）+1=（b+a）+1=1+（b+a）=（1+b）+a=（b+1）+a=b+a. 即 bM，于是 M= N，则 a+b=b+a 成立. 定义 3 自然数的乘法是指这样的对应：对于每一对自然数 a、b，有且仅有一个自然数（记为ab）与之对应，且具有下述性质： （1）a1=a； （2）ab=ab+a. 这里 a、b 称为乘数，ab 称为 a、b 的积. 定理 2 自然数的乘法满足右分配律，即对 N 中任何 a、b、c，有 （a+b）c=ac+bc. 证明 令集合 M=c|（a+b）c=ac+bc. 因为（a+b）1=a+b=a1+b1， 所以 1M. 假定 cM，就有（a+b）c=ac+bc，于是

10、 （a+b）c=（a+b）c+（a+b）=（ac+bc）+（a+b）=（ac+a）+（bc+b）=ac+bc， 这说明 cM，按归纳公理得 M= N. 定理 3 自然数的乘法满足右分配律. 定理 4 自然数的乘法满足结合律，即对任意的自然数 a、b、c，有 a（bc）=（ab）c 仿照定理 1 的（2）的证明可证得. 根据定理 1-4，代数结构（N，+） ， （N，）都是半群. 定义 4 设 a、bN，如果存在 xN，使 b+x=a，则称 x 为 a 减去 b 的差，记作 a-b，a 叫做被 减数，b 叫做减数，求两数差的运算叫做减法. 减法是加法的逆运算，在自然数集中，由于方程 b+x=a

11、不总是有解，所以减法也不是总能实施的. 定义 5 设 a、bN，如果存在 xN，使 bx=a，则称 x 是 a 除以 b 的商，记作 a/b.这里 a 叫做 被除数，b 叫做除数，求两数商的运算叫做除法. 复习思考题、作业题： 1、证明：自然数的乘法满足右分配律. 2、证明：自然数的乘法满足结合律，即对任意的自然数 a、b、c，有 a（bc）=（ab）c.授课章节第 1 章 第 3 节任课教师 及职称陈宏道教学方法 与手段讲授法、探究式课时安排2 学时使用教材 和 主要参考 书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何

12、研究 教学目的与要求： 掌握自然数的性质和数学归纳法的理论依据教学难点与重点： 重点：数学归纳法的原理 难点：应用数学归纳法解决问题教学内容： 本节继续研究自然数的序数理论。 定义 6 设 a、bN，如果存在一个自然数 k，使 a=b+k，就说 a 大于 b，记为 ab；或说 b 小于 a，记为 ba. 定理 5 自然数集中的关系“”满足下列性质： （1） （反自反性）aa， aN. （2） （传递性）若 ab，bc，则 ac. （3） （全序性）对于 N 中任两个数 a、b，下列情况有且仅有一种成立；ab，a=b，ba. 反自反性，传递性证明从略.现证明全序性. 证明 先证明三种可能中至多有

13、一个成立. 假设 ab，a=b 同时成立，就有 kN，使 a=b+k，由 a=b 得 b=b+k，矛盾.同理 ba 与 ab 不能同时成立，ba 与 a=b 也不能同时成立. 再证 ab，a=b，ba 中至少有一个成立.取定 a，对 b 运用归纳. 当 b=1 时，若 a=1，则 a=b；若 a1，则存在 cN，使 a=c=c+1，于是 a1=b，即 ab 成 立. 假设 ab，a=b，ba 中总有一个成立，考虑 a 与 b的顺序关系. 当 ba 时，存 lN，使 b=a+l，b=（a+l）=a+l，ba； 当 a=b 时，b=b+1=a+1，ba；当 ab 时，存在 kN，使 a=b+k.若

14、 k=1，则 a=b；若 k1，则存在 sN，使 k=1+s，于是 a=b+k=b+（1+s）=（b+1）+s=b+s，ab. 定理 6 自然数集中的顺序关系“”满足加法和乘法的保序性.即 （1）若 ab，则 a+cb+c；（2）若 ab，则 acbc. 定理 7 在自然数集中，消去律成立.即（1）若 a+c=b+c，则 a=b；（2）若 ac=bc，则 a=b. 自然数的顺序关系“”还具有其他性质； 定理 8 在自然数集 N中，1 是最小数，即对于任何自然数 a，a1. 仿照定理 5 的证明，请同学写出定理 6、7、8 的证明。 定理 9 （自然数的离散性）任两个相邻的自然数 a 与 a之间

15、，不存在自然数 b，使得aba. 证明 若 ba，则存在 kN，使 b=a+k.因 k1，所以 a+ka+1，即 ba，矛盾，故ab 不可能成立. 定理 10 （阿基米德性质）对任意自然数 a、b，必有自然数 n，使 nab.提示： 取 nb 即可. 定理 11 （最小数原理）N的任何一个非空子集必有最小数. 证明 用反证法.设非空集合 AN，但 A 没有最小数.令所有小于 A 中任何一个数的自然数组成的集合为 M.因为 1 是自然数集 N的最小数，而 A 没有最小数，所以 1A，这说明 1M.假设 mM，现在设法证明 mM.事实上，如果 m M，则存在 a1A，使 a1m.又因 A 中 没有最小数，故存在 a2A，使 a2a1m，于是 a2m，与 mM 矛盾.所以 M= N.因为 A 非 空，A 中至少有一数 t，且 tN=M，由集 M 的定义知 tt，矛盾，所以集 A 有最小数. 归纳公理与最小数原理是等价的.数学归纳法的两