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1、200 7年第10期救学救学10一1夕变式的角度数学的眼光*香港教育学院院校协作与课堂学习研究中心孙旭花香港中文大学课程与教学学系黄毅英林智中近年来,国内不管是数学课程改革还是数学教育领域的研究,数学的意义强调得越来越淡,有的研究中出现的“数学”两个字可以全部转换为化学、物理、语文两个字.事实上,在国际数学教育领域中,这个问题更 为严重,PME3 0的主 题“数学是中心”便是针对这个问题提出来的,把握“数学教育领域自己的基本间题” ,而拒绝“数学的边缘化”,成为数学教育研究者的一个重要使命.就变式研究而言,一直是心理学领域的热点研究.从心理学的角度来看,变式研究属于迁移领域,以西蒙、安德森等为
2、首(S i mo n,197 3;Samso n,198 7:pirol l减、除、开方运算;以及向量的“加法”,矩阵的“加法”,数理逻辑空间的逻辑“加法” ,计算机运算的“加澎,实际上培养数学“加运算”的“公理化”眼光,运算的学习,本 质上就是“多次”透过“加不变”部分运算研究,连续地发展,培养数学“运算”的“抽象化和公理化”眼光.4.从 变式的角度,如何看数学概 念形成?概念内涵是概念本质不变的属性,而概念的适用范围,称之为外延.数学学习从概念的外延范围,概括适合概念的不变的部分一内涵部分,是数学学习的重要 内容.我们随便抽取数学概 念分析如下:例如,圆上的各点变化,而圆心、半径不变;直线
3、上的各点变化,而斜率不变,图形对称,位置变化,形状不变;方程概念是未知数变化,而等式不变,全等图形概念位置变化,而形状与大小不变.表1从变式的角度解析数学概念数数学概念念变的部分分不变的部分分 圆圆圆圆上的各点点圆心、半径径 直直线线直线上的各点点斜率率 对对称称位置置形状状 自自然数数数量量运算、运算律律 代代数式式字母 的数值值表达式式 方方程程未知数数等式式 全全等等位置置形状与大小小概括来说,数学概念的学习中,通过变部分的表面特征,去发现不变部分的结构特征.实际上就是保证“概念”本质属性不变,外延逐步扩展的认识,越来越掌握“不变属性”的数学规律,本质上,变式的角度就是透过“内涵不变”部
4、分研究,发展“抽象化”、“概括化”的眼光,成就数学的眼力,实际上培养数学“概念”的“抽象化和公理化,眼光.5.从 变式的角度,如何看数学定理、性质拓展?以初中代数为例,初中代数内容可以简单地摄括为,研究一元一次、一元二次方程以及一元七甲次、一元二次函数的性质,而全部的一元一次和翻元二次方程,都可以看为一元一次和一元二次函数图象和坐标x轴的交点,而一元一次和一元二次函数的性质,可以统一总结为直线和抛物线的性质.而抛物线又可分为双曲线和抛物线、圆、椭圆,它们的性质可以不变地表示曲率e变化的二次曲线.“变”中研究“不变”的数学结构,成了代数性质学习的基本规律.几何性质学习也同样.直线与圆的关系讨论可
5、分为距离大于零、等于零或小于零的条件,来研究相离、相切、相交的性质,其教学目的培养学生在距离变化中看到不变的性质.直线与直线 的关系,圆与圆的关系,都是重复地培养学生,在距离变化中,看到不变的性质本质之能力.有趣的是,许多几何证明似乎就是培养“变中发现不变的”数学眼力.例如,三角形外角平分线定理和内角平分线定理,其表述和证明完全一致不变.圆周角的性质证明,无论角的顶点在圆周上、圆心、在圆周内,都和角的顶点在圆周上的证明一致不变.几何作图无论二等分一个角、或 过直线外一点,作直线的垂线作图方法都是不变.概括来说,数学定理、性质的学习中,通过 变的条件特征,去发现不变的结构特征.实际上就是保证“性
6、质”不变,条件逐步扩展的认识,越来越掌握“不变性质”的数学规律,“各个变化的性质,中发现“不变属性”,某种意义上,数学定理、性质的学习本质上就是透过“不变性质”来研究条件变化” ,最终来发展数学的眼光,实际上培养数学定理、性质的“抽象化和公理化”眼光.日本数学家米山国藏(198 6)更为深刻地指出,无论在数学公式、定理证明中还是在公式、定理的研究中,改变条件的值,研究新的关系这种变换的方法和思想,在数学中到处都表现出来,到处都是用得着,是极为重要的方法和思想.6.从变式的角度,如何看数学问题策略习得?方程是代数中的重要内容.我们以解方程为 例说明,研 究数学问题解决中“变”与“不变”的角色.所
7、有的无理方程可换元为有理方程,所有的有理方程去分母转化为整式方程,所有的整式高次方程,都要因式分解为等价的二次因式与一次因式的乘积,所有的二次方程都要分解为一次方程a 二=b求解.而方程组的解题策略也类似.所有的多元方程组要反复消元,变为二元方程组,再消元,化为一元方程.所有的方程和方程组,10一16获学长学2007年第10期无论高次、低次,无论未知数的多少,都要转化为一元一次方程是永远不变的数学方法,这是解方程的通法.匾纽牙币擅垂犷惬夏垂犷王压三亚圈概括来说,解方程中“变”中发现“不变”的解法,反应了整个数学间题解决的重要思想.数学问题策略的学习中,通过变的间题特征,连续地去发现不变的方法特
8、征.实际上就是,连续地突出“基本方法”不变,实际上培养数学方法的“抽象化”眼光.策略逐 步扩展的认识,越来越掌握“不变的基本方法”的通法和规律,并把“各个策略”中多次抽象“不变的一般方法”解决各种变化的问题,实际上培养数学方法的公理化, g良 光.某种意义上,数学问题策略的学习本质上,就是连续地透过“不变的基本方澎,研究问题解决策略,不断地来发展培养数学方法的“抽象化和公理化, g良光.的确,我们从这样的角度,重新梳理数学知识,似乎可以看到整个数学系统,无论从数系的扩张、数学运算的发展、数学定理性质的拓展,还是从数学问题解决策略的习得,数学大厦的各个元素均以变和不变作为它的“语言”,建构了多维
9、度、全息化的数学知识的网络.相应地,数学教学就是通过帮助学生识别这种“语言”,变式的角度在于以有利的视角,“多次”连续地突 出“变中发现不变,“多次,地抽象,多次“连续”地突出“以不变应万变”公理化思想,而公理化思想也是数学与其他学科的不同的特质.变式的角度实质上有利于掌握“变中的不变”的数学规律,“以不变应万变”公理化思想,从而发展“数学”的洞察力,只有对这一点的关注,才贴近数学教育的“自己”的核心问题.另一方面,从变式的角度来看,数学与其他学科的不同之处在于,这种“连续的抽象”特质,才是数学教学的独特规律,而其他学科,极少像这样强调“连续地抽象化”和“连续地公理化”思想(例如由加法到乘法到
10、乘方,加的性质是不变的,变的是加的“水甲,越来越高,可以看为连续地抽象化”和“连续地公理化”的例子).反过来,不变式的做法将不利于数学的发展.“变”中忽视“不变”元素,就是内容永远变化,淡化不变的元素,借不到点子上”,内容多,内容之间互不相干,知识杂,一题一法,越学越难,只能看到表面是什么,不能理解背后为什么,某种意义上,可以看为以不变式的角度进行学习的现象,例如,美国的课程“加、减、乘、除”运算之间的“不变”关联关系的强调,远比中国课程都弱,课程倾向空,中忽视“不变”元素,不能形成好的数学结构(马力平,2 00 5).另外,虽然变式本质是迁移的学习,强调了举一反三,通过“变中发现不变,来学习
11、抽象化,和“以不变应万变来”学习公理化,贴近地强调了数学教学的中心间题一“公理化”和“抽象化,而“公理化”和“抽象化”一直是数学教学的难点.限于篇幅,本研究将不展开.本研究尝试解释了为什么从变式的角度,有助于培养数学的眼光,什么是数学教学的独特规律?而不是所 有学科都有规律?希望这个研究贴近数学教育的“自己”的核心间题,走出一般教育学理论加上数学例子的研究“瓶颈”.参考文献【l 孙旭花.螺旋变式数学课程设计:理论与实 践.香港中文大学博士论文.20 07 . I z 马力平.美国小学数学教学内容体系瓦解三 步曲.载文耀光、史创立、潘建强(编).数学教育研究 及教学最新进展一数学教育会议200
12、5文集.香港数 学教育学会.2005.l s 郑毓信.变式理论的必要发展.中学数学月刊.2 006.1.I l上海市青浦县数学教改实验小组.学会教学.人民教育出版社.1991. s 聂必凯.数学变式教学的探索性研究.华东师 大博士论文.2 004 . 0 l鲍建生、黄荣金、易凌峰、顾怜沉.变式教学研 究.数学教学.2003.1一3 .【 7 jHu ang,R.J.MathematiC Ste achinginHo ngKonga nd Shanghai:Aela s srooman alysisf romthepe rspe ctiv eofv a riation.Unpublishe dp
13、h Dthesis.HongKong:TheUniv er sityof HongKo ng.2002.18!Lo,M.L、,pong,W.Y.,乱 Chik,P.P.M.F Oreaeha ndev ery on e:Cateringf orindividua ldif f er en ee sthro ugh lea rningstudie s.Ho ngKo ng20 05 .【9】Ma rto n,F.&Bo oth,S,Learninga nda wa -re n e s s.Mahw ah,NewJersc y:L脚r ene eErlba umAs s o eia te spu blishers.1997.110Ma rton,F.&tsui,A.B.M.(E ds.)Cla ss-r o omdiseour s eandthesPa ceoflearning.NewJe rs ey:La wren eeErlbaumAs s oeiate s,In e.20 05.
