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1、 1、异面直线所成的角(1)定义：a、b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 aa,bb,则 a和 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角.(2)取值范围：090.(3)求解方法根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有 的三角形，求出角 的大小.例例 1.1.如图，在四面体 ABCD 中，已知所有棱长都为 a，点 E、F、G 分别是 AB、CD、BC 的中点.（1） 、求证：EG平面 ACD；(2)、求线段 EF 的长； （3） 、求异面直线 BC、AD 所成角的大小.例例 1 1.证明:（1）E、G 分别为 AB、BC 的中点， EGAC，又AC 平面
2、 ACD ，EG 平面 ACD，EG/平面 ACD(6 分)（2）连 CE、DE，在等边ABC 中，EC=DE=a，23EF 是等腰ECD 底边上的高，EFCD，EF=a(6 分)22CFEC 22（3）方法一：连 AG、DG，易知 BCAG、BCDG，BC面 AGD，则 BCAD，BC，AD 所成角为 900，方法二：取 AC 中点 H，连 EH、FH，则 =EHF 是 BC、AD 所成的角EH BC a, FH= AD= a, 由（1）知 EF a 21 21 21 21 22EH2+FH2=EF2 =900. (6 分)2、直线和平面所成的角斜线和射影所成的锐角(1)取值范围 090(2
3、)求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角 .解含 的三角形，求出其大小.例例 2. 如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P-ABCD 中，中，PA、AB、AD 两两互两两互相垂直，相垂直，BCAD，且，且 AB=AD=2BC，E，F 分别是分别是PB、PD的中点。的中点。例例 2.（）证明：）证明：EF平面平面 ABCD；（）若）若 PA=AB，求，求 PC 与平面与平面 PAD 所成的角的正弦值所成的角的正弦值.（）证明：连结 BD在 PBD 中，E，F 分别为 PB、PD 中点, EFBD又 EF 平面 ABCD，BD 平面 ABCDEF平面 ABCD（）解：取 AD 中点 G，
4、连接 CG、PG四边行 ABCD 中，BCAD，AD=2BCCGAB 又ABAD，ABAP，APAD=AAB平面 PADCG平面 PAD,GPC 是 PC 与平面 PAD 所成的角设 PA=2a，则 AB=CG=2 a，BC=AG= a, AC=a5PC=3a22PAAC在 RTPGC 中，sinGPC=22 33CGa PCa3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个
5、面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角 的取值范围是0180（3）二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角 ，再通过解三角形求得 的值.例例 3、如图：已知直三棱柱、如图：已知直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，的底面是等腰直角三角形，0 11190BCA2, 1111AACAB1BACC1A1D连结连结 AB1、AC1，设，设 D 为为 A1B1的中点，的中点，（1）证明：）证明：平面平面 A1B1BA；DC1 （两种方法）（两种方法） （2）求面）求面 AC1B1与面与面 A1AB1所成的
6、二面角正切值所成的二面角正切值.例例 3、证明：（1）A1A面 A1B1C1，A1A 面 A1B1BA面 A1B1BA面 A1B1C1。又在等腰直角三角形 A1B1C1中，D 为斜边 A1B1的中点C1DA1B1，而面 A1B1BA面 A1B1C1= A1B1平面 A1B1BA；DC1（2）在面 A1B1BA 中，过 D 作 DEAB1于 E，连 C1E平面 A1B1BA，DC1 AB1 且 DEAB1，C1DDE=DDC1AB1平面 DEC C1EAB1故C1ED 为二面角 C1-AB1-A1的平面角。在 Rt中，A1A=，A1B1=，11BAA22故 DB1=，ABA22DE= ，又 C1
7、D=，所以21 222tan1 1DEDCEDC面面垂直性质定理：两平面互相垂直，在一个平面内面面垂直性质定理：两平面互相垂直，在一个平面内B1BACC1A1D垂直于交线的直线垂直于另一平面。垂直于交线的直线垂直于另一平面。面面垂直判定定理：一个平面经过另一个平面的一条面面垂直判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。垂线，则两个平面互相垂直。练习：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图 5、图 6 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（）求该安全标识墩的体积；（）证明：直线BD 平面PEG.解：该安全标识墩的体积为：VVPEFGH+ VABCDEFGH 2214060402032000320006400032cm（）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知,PO 平面 EFGH , POHF又EGHFEGPOO HF平面 PEG又 BDHF BD平面 PEG； 下图是一个几何体的三视图（单位：cm） ，求此几何体的表面积和体积主视图左视图俯视图答案：表面积（答案：表面积（+） 体积体积 +232
