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1、函数、数列以及极限的综合题函数、数列以及极限的综合题例例 已知函数的图象是自原点出发的一条折线当)(xfy 时，该图象是斜率为的线段（其中正常数） ，设数列), 2 , 1 , 0( 1nnynnb1b由定义 求：nx), 2 , 1()(nnxfn（1）求和的表达式；21xx、nx（2）求的表达式，并写出其定义域；)(xf（3）证明：的图像与的图象没有横坐标大于 1 的交点)(xfy xy 分析：分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、 推理和综合的能力（1）由斜率分式求出，同样由斜率公式求出关于的递推式，然后求出，21xx、nxnx（2）由点斜式求出段的的
2、表达式，用极限的方法求出定义域 （3）,1nnxx)(xf与没有交点，只要时，或时恒成立，当)(xfy xy 1bxxf)(10 bxxf)(，由于，只要证1bnnxxfxxf)()(. 0)(nnxxf解：解：（1）依题意，又由，当时，函数的图象0)0(f1)(1xf10 y)(xfy 是斜率为的线段，故由得10b10)0()(11 xfxf. 11x又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由2)(2xf21 y)(xfy b，即得bxxxfxf1212)()( bxx1 12.112bx记由函数的图象中第段线段的斜率为，故得. 00x)(xfy n1nb111)()( nnnnnbxxxf
3、xf又; 1)(,)(1nxfnxfnn, 2 , 1,)1(1 1 nbxxn nn由此知数列为等比数列，其首项为 1，公比为1nnxx.1 b因，得 1b nknknxxx11)(,1)1(11111 bbbbbnn即.1)1(1 bbb xnn（2）当时，从（1）可知，即当时，10 yxy 10 x,)(xxf当时，即当时，由（1）可知1nyn1nnxxx)., 3 , 2 , 1,)()(1nxxxxxbnxfnnnn为求函数的定义域，须对进行讨论)(xf), 3 , 2 , 1(1)1(1 nbbb xnn当时，1b;11)1( limlim1 bb bbb xnnnn时，也趋向于无
4、穷大10 bnnx综上，当时，的定义域为1b)(xfy );1, 0bb当时，的定义域为10 b)(xfy )., 0 （3）证法 1 首先证明当时，恒有成立11 , 1bbxbxxf)(对任意的，存在使，此时有)1, 1 (bbxnx1nnxxx),1()()()(nxxxxbxfxfnnn n.)()(nnxxfxxf又,111)(1nnnxbbnxf, 0)(nnxxf, 0)()(nnxxfxxf即有成立xxf)(其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立1b1xxxf)(故函数的图象与的图象没有横会标大于 1 的交点)(xfxy 证法 2 首先证明当时，恒有成立11 , 1bbxbxx
5、f)(用数学归纳法证明：（）由（1）知当时，在上，所以1n, 1 (2x),1(1)(xbxfy成立0) 1)(1()(bxxxf（）假设时在上恒有成立kn ,(1kkxxxxf)(可得,1)(11kkxkxf在上，,(21kkxx),(1)(11 kkxxbkxf所以 xxxbkxxfkk)(1)(11也成立0)1()(1(111 kkkxkxxb由（）与（）知，对所有自然数在上都即时，恒有n,(1nnxx11bbx.)(xxf其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立1b1xxxf)(说明：说明： 本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学 知识、思想方法解决问题的
6、能力解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像 能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则， 不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为 0.02，三人平均不足 1 分，创了近年高考得分低的记录 命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置本题得分低 一方面是试题“超前” ，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量” 的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法以后坚持考不等 式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低判断数列极限命题的真假判断数列极限命题的真假例例 判断下列命题的真
7、假：（1）数列的极限是 0 和 1,2) 1(1, 1 , 0 , 1 , 0n（2）数列的极限是 0,21) 1( ,21,21,21, 111 32nn（3）数列的极限不存在,1sin,31sin,21sin, 1sinn（4）数列的极限是 010000231,31,31, 1分析：分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化 趋势 解：解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假 命题（2）随着 n 无限增大，数列的项无限趋近于 0，因此它的极限是 0， 11 21) 1(nn是真命题（3）随着 n 无限增大，数列的项无限趋近
8、于 0，因此数列无限趋近于 n1 n1sin0，是假命题 （4）有穷数列无极限，是假命题 说明：说明：（3）中容易认为极限不存在（4）容易错误认为是真命题，尽管数列随着 n 的增大而逐渐趋近于 0，但由 131n于数列只有 10001 项，是有穷数列，不存在极限根据数列的极限确定参数的范围根据数列的极限确定参数的范围例例 若，则 a 的取值范围是（ ）021lim nnaaA B或 C D或1a1a31a311a31a1a分析分析：由（a 为常数） ，知，所以由已知可得，解这个不等0lim nna1a121 aa式就可求得 a 的取值范围解解：由，得，021lim nnaa121 aa所以，a
9、a21两边平方，得：，224)1 (aa，0) 1)(13( , 01232aaaa所以或1a31a答案 B说明：说明：解题过程容易误认为只有，得，错选 A解决含有涉及到求字021 aa1a母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题分析数列求极限分析数列求极限例例 已知数列 1.9，1.99，1.999， 个n 9999. 1 （1）写出它的通项；na（2）计算；|2|na（3）第几项以后所有的项与 2 的差的绝对值小于 0.01？（4）第几项以后所有的项与 2 的差的绝对值小于 0.001？（5）指出这个数列的极限分析：分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，
10、简化数列通项的一般形式， 再求极限 解：解：（1）可将数列改写为（2-0.1） ， （2-0.01） ， （2-0.001） ， （） ，1000. 02个n 于是此数列的通项nna1012（2）nnna101|2)1012( |2|（3）令即，解得01. 0|2|na01. 0101n2n故这个数列的第 2 项以后的所有项与 2 的差的绝对值均小于 0.01（4）令即，解得001. 0|2|na001. 0101n3n故这个数列的第 3 项以后的所有项与 2 的差的绝对值均小于 0.001（5）2)1012(lim nn说明：说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限求数列
11、奇数项和的极限求数列奇数项和的极限例例 数列的前 n 项和记为，已知，求 nanS)N(35nSann的值)(lim1231nnaaa分析：分析：为求当的极限，应先求出的表达式从已知条件1231naaanna中给出与的关系式，可以利用，设法求出的表达式nanS)2(1naSSnnnna解：解：由及，可得11Sa 3535111aSa431a又时，则2n1nnnSSa35;3511nnnnSaSa两式相减，得1141,5nnnnnaaaaa于是，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列 na43 41进而可得，数列是以为首项，公比为,12531naaaa431a的无穷等比数列，于是可求出极限161
12、412 q.54 1512161143)(lim1231 nnaaa说明：说明：这同 1999 年全国高考文史类试题对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出的通项公式，或确定数列的特征再求极限由于所求数列是一个公式的无na1q穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式) 1(11qqaS等比数列和的极限等比数列和的极限已知数列满足条件：，（） ，且是公比为 q （na11ara 20r1nnaa）的等比数列设（） ，求与，其中0qnnnaab212 , 2 , 1nnbnnS1lim nnbbbS 21解：因为，qaa aaaannnnnn2121所以02
13、1221221222121qaaqaqa aaaa bbnnnnnnnnnn，所以是首项为 1+r ，公比为 q 的等比数列，从而011rbnb1)1 (n nqrb当时，；1q)1 (rnSn0)1 (1lim1lim rnSnnn当时，；10 qqqrSnn1)1)(1 ( rq qrq Snnnn 11 )1)(1 (1lim1lim当时，1qqqrSnn1)1)(1 (0)1)(1 (1lim1lim nnnnqrq S所以 1010111lim qqrqSnn反思升华：已知数列满足条件：，（） ， ，对任意，na11ara 20r Nn有设，求raann1 nnnnaaab31323nnbbbS 21nnS lim
