现代CAD基础与应用 2

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1、机械类专业基础核心课程主讲:刘子建 教授 汽车楼322，88823080， 助教：周晋超等 综合实验楼468，88821726精品课程网站：http:/ 课程中心网站：http:/ *计算机如何显示出图形和字符？思考几个问题计算机如何表示圆、椭圆等曲线？圆柱、圆锥等曲面？计算机如何表示船体、汽车等的外形？如何设计自由曲线和曲面？*第2章 CAD建模的理论基础 自由曲线设计要满足的需求 工程需求：曲线光顺，一般要求二阶导数连续；第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础（本章的重点和难点） 设计需求：表达灵活，控制自如，便于创意设计； 操作需求：便于交互式操作和设计； 计算需求：便于

2、计算机数值处理。*第2章 CAD建模的理论基础本节学习的思路满足工程需求：了解工程和力学等问题与自由曲线的关系；第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础满足设计需求：掌握不同参数曲线的特性和应用范围；满足操作需求：理解参数曲线的几何不变性等特性；满足计算需求：掌握矢量和矩阵知识在曲线设计中的作用。*第2章 CAD建模的理论基础 几个基本概念 型值点：用来定义曲线的一组离散点；第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 曲线的拟合：由一系列给定的型值点构造曲线段的方法； 样条曲线：将多个曲线段光滑连接形成的曲线； 曲线的插值：通过给定型值点求出曲线上其他点的方法。*第2

3、章 CAD建模的理论基础三次参数样条曲线-工程背景三次样条曲线的工程背景：船体的建造及船体放样实例第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础Parts assembling (分段 小组立/中组立)ship body assembling & system assembling(船体合拢和船上舾装)Assembling at Dock (码头舾装)*三次参数样条曲线-力学背景三次样条曲线的力学背景：弹性细梁在集中荷载作用下的变形曲线：符合弹性力学的Bernoulli-Euler定律第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础CAD建模的理论基础（2）左式中，EI为抗弯刚度

4、系数M(x)为弯矩函数当梁的变形很小时，有*三次参数样条曲线-描述方式问题1：三次样条曲线能否满足工程需求？第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础问题3：为什么说“参数化表示是形状数学描述的标准形式”（Ferguson,1964）？曲线表示的几何不变性CAD建模的理论基础（2）问题2：直角坐标表示的三次样条曲线可以满足计算机环境下产品设计、交互式操作和数据高效计算的要求吗？*三次参数样条曲线-特点分析第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础参数曲线的优点：（1）控制参数多，控制性能好；（2）便于用矢量和矩阵表示；（3）通过对参数的规格化处理便于控制曲线的有界性；（

5、4）曲线的形状仅与定义它的特征矢量的相对位置有关，而与所在的坐标系无关（曲线表示的几何不变性)。CAD建模的理论基础（2）*第2章 CAD建模的理论基础三次参数样条曲线-曲线段数学描述第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础设用向量表示的一组型值点Pi（i=1,2，,n）定义了由n-1段三次多项式表示的参数样条曲线，其中第i段曲线的表达式可以写成(0tti)（2-1）*第2章 CAD建模的理论基础三次参数样条曲线-曲线段的待定系数法求解第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础 i=1,2,n*第2章 CAD建模的理论基础三次参数样条曲线-曲线段的待定系数法求解第1节

6、 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础(2-2)*第2章 CAD建模的理论基础三次参数样条曲线-曲线段的待定系数法求解第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础中有令*第2章 CAD建模的理论基础三次参数样条曲线-曲线段的待定系数法求解第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础即有：写成矩阵形式：(2-3)*第2章 CAD建模的理论基础三次参数样条曲线-曲线段的待定系数法求解第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础不妨令：这说明，当第段曲线的2个端点及其端点切向量已知的 话，则曲线段的参数方程就可以求出来！则：称为调和函数*第2章 CAD建模的理

7、论基础三次参数样条曲线-利用光顺条件求解样条曲线第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础问题：如何定义三次参数样条曲线？求解步骤：（1）已知曲线段连接成样条曲线的二阶连续条件，求得n-2个切向 矢量连续方程；（2）由样条曲线两端点的边界条件（夹持端、抛物段、自由端）求 取2个端点的切向矢量方程；（3）获得关于各结点切向矢量的n个联立线性方程组，可求解出n个 切向矢量值，带入式（2-3），即为所求的样条曲线表达式。*第2章 CAD建模的理论基础第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础Hermite曲线事实上，令就得到Hermite曲线。*第2章 CAD建模的理论基础H

8、ermite曲线第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础令则Hermite曲线方程为：Hermite几何向量Hermite矩阵*第2章 CAD建模的理论基础三次参数曲线的分量形式第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础课后作业：如何由Gh出发推导Hermite曲线方程？*思考两个问题1、参数曲线（三次）能满足工程（A）、设计（B）、操作（ C）、计算（D）需求吗！请选择支持你的观点的因素，在括弧中填入相应字母。船体放样（A ）；木样条与贝努利-欧拉定律（A ）；型值点（A、B ）；参数曲线段与参数样条曲线（A、D ） ；向量与矩阵表示方法（D ）；参数曲线的几何不变

9、性（C ）；待定系数法（D ）；参数曲线的边界条件（D、B ）。2、三次参数样条曲线设计和操作方便吗？*第2章 CAD建模的理论基础Bezier曲线第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础1972年，由法国雷诺公司汽车设计师Bezier提出。设有n+1个型值点 ,则n次Bezier曲线的参数方程为型值点的位置向量；称为Berstein系数，又称基底函数。（2-9）*第2章 CAD建模的理论基础Bezier曲线（例）第1节 计算机几何造型基础知识 4.自由曲线设计理论基础*第2章 CAD建模的理论基础Bezier曲线第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础形状控制的特

10、点：将定义n次Bezier曲线的n+1个型值点用直线段连接成控制曲线形状的特征多边形，用光滑的参数曲线逼近这个特征多边形，调整特征多边形的形状即可达到控制参数曲线形状的目的，用这种方式支持计算机交互式环境下自由曲线、曲面的操作控制，以及设计创意。*1987年柏林工业大学授予Bezier荣誉 博士学位时的评语Bezier用面向几何而不是面向代数的思想 ，在形状设计之类的工程问题中，考虑到 人类设计者的能力和要求，即计算机应用 中人的行为、地位和创造性的不可替代性 。Bezier创造的设计方法使人对设计对象 的控制达到了直接的几何化的程度。*第2章 CAD建模的理论基础二次Bezier曲线第1节

11、计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础n=2时，由式（2-9）有二次Bezier曲线参数方程为:*第2章 CAD建模的理论基础三次Bezier曲线第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础n=3时，需要4个型值点来确定Bezier曲线。由Bezier曲线的定义式（2-9）可以得到：*第2章 CAD建模的理论基础Bezier曲线第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础三次Bezier曲线的性质：端点性质:凸包性；几何不变性；课后作业：已知三次Bezier曲线的端点性质和Hermite矩阵Mh，如何求出Bezier曲线的矩阵表达式？*第2章 CAD建模的理论基础三

12、次Bezier样条曲线第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础*第2章 CAD建模的理论基础B样条曲线(B-Spline)第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础美国通用汽车公司戈登（Gordon）和黑森费尔（Riesenfeld）1974年研究Bezier曲线时引入B-Spline。它继承了Bezier的优点，而且更加灵活适用，成为曲线设计的主流方法和国际标准。*第2章 CAD建模的理论基础B样条曲线(B-Spline)第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础数学表达式给定m+n+1个顶点，用位置向量 bi(i=0,1,m+n)表示，将多边折 线分成

13、m+1段，每段定义出n次多 项式，则第i段(i=0,1,m)多边折 线定义的n次等距分割的B样条（均 匀B样条）函数如下。B-Spline基函数*第2章 CAD建模的理论基础B-Spline与Bezier曲线的区别第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础Berstein基函数；B-Spline基函数B-Spline与Bezier曲线的区别1、Bezier曲线基函数的次数取决于对应的特征多边形顶点数，而B-Spline曲线基函数的次数可以交互式指定，与特征多边形顶点总数无关；2、 Bezier曲线的基函数是多项式函数， B-Spline曲线的基函数是多项式样条；3、 B-Splin

14、e曲线比Bezier曲线可以更方便地用于曲线（面）的创意设计，并且更具有便于进行局部修改的特性，是一种可以灵活表达和控制的曲线。*第2章 CAD建模的理论基础B样条曲线(B-Spline)第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础n=2时*第2章 CAD建模的理论基础B样条曲线(B-Spline)第1节 计算机几何造型基础知识4.自由曲线设计理论基础n=3时*第2章 CAD建模的理论基础三次B样条曲线(B-Spline)第1节 计算机几何造型基础知识 4.自由曲线设计理论基础性质端点的位置:端点的切向量:起始点出的二阶导数；二阶连续性；凸包性；课后作业：已知三次B-spline曲线

15、的端点性质和Hermite矩阵Mh，如何求出B-spline曲线的矩阵表达式？如何用UG系统提供的Open GRIP语言编写绘制图形的程序？例1 绘制简单图形ENTITY / l1, l2, pt, cll1 = LINE / 0, 0, 0, 1800l2 = LINE / PARLEL, l1, XSMALL, 800pt = POINT / -400, 1800cl = CIRCLE / CENTER, pt, RADIUS, 400, START, 0, END, 180HALT如何用UG系统提供的Open GRIP语言编写绘制三次参数样条曲线的程序？例2 绘制三次参数样条曲线ENTITY / p(4), spln1, spln2p(1) = POINT / -1, 0p(2) = POINT / 0, 0p(3) = POINT / 1, 0.866p(4) = POINT / 2, 0.75spln1 = SPLINE / p(1), 90, p(2), 300, P(3), 90, p(4),300spln2 = SPLINE / p(1), p(2), VECT, 1, 2, 0, P(3), p(4), VECT, -1, -2, 0HALT如何用UG系统提供的Open GRIP语言编写绘制Bezier曲线的程序？例3 绘制Bezier曲线ENTITY