二、随机变量及其概率分布

《二、随机变量及其概率分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二、随机变量及其概率分布（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 二、随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、随机变量一、随机变量1 定义定义 随机试验的各种可能结果用变量来表示，称变量为随机变量。XX例例 1 检验五个产品中含有一个次品，二个次品，三个次品，可用变量来表示。3, 2, 1XXX例例 2 在贝努里试验中，每次试验只有两个结果，可用变量，又如每次考试也只有两个结果，用等。 发生事件发生事件 AAX01，不及格及格0, 1X2随机变量的分类：随机变量的分类：.离散型随机变量离散型随机变量 例 取球；检验产品；电话总机在某一时刻接到的呼唤次数；既随机变量的取值是有限可数，或无限可数； 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量的取值是不可数，它是

2、在某一个区间范围内取值。例 在某一地区的某一天的温度，黄浦江的水位为 21tTt等。bXa二二 、随机变量的分布函数、随机变量的分布函数分析：分析：对于连续型随机变量而言，取值是不可数的，不能用来表示ixX 某一事件，考虑用区间取值来表示211221)()()(xXxxXPxXPxXxP是事件，这就是说概率与变量（事件）)(2112xxxXxXx有关。更一般，我们考虑事件的概率。xX 1.定义定义 设为随机变量，若对任意的实数，称事件的概率XxxX 为随机变量的分布函数，记为。)(xXPX)()(xXPxF2.性质性质 ；011)(0xF对任意的两个实数，当，恒有，是单调0221,xx22xx

3、 )()(21xFxF)(xF不减函数；证证：0)()()()()(,12122121xFxFxXPxXPxXxPxx所以有。)()(21xFxF；030)()(lim, 1)()(lim FxFFxF xx为右连续，即；04)(xF)()0(xFxF设。05)()()(,aFbFbXaPba 2 离散型随机变量离散型随机变量一、概率分布列一、概率分布列1.定义定义 设离散型随机变量的所有可能取值是称对应取值X,21nxxx的概率为离 散型随机变量的概率分布列。X 2.表达形式：表达形式： 1）表格形式）表格形式X 1x2x kxP 1P 2P. .kP2）矩阵形式）矩阵形式 kk PPPxx

4、x21213）分布多边形。）分布多边形。一、一些常见的离散型随机变量一、一些常见的离散型随机变量10-1 分布分布随机变量的可能取值是，其概率分布列是 发生不发生 AAX10)(ixXPX01Pqp,称随机变量是服从参数为的 0-1 分布。10 pXp2.二项分布二项分布设随机变量的可能取值是，其概率分布列是Xn, 2 , 1 , 0，它是二项式展开式中的第项系nkqpCkXPknkk n, 2 , 1 , 0,)(nqp)(K数，故又称为二项分布，记为。它产生的背景是重贝努里试验中。),(pnBXn在第一章我们已经遇到过。 例例 某厂长有 5 个顾问，假定每一个顾问贡献正确意见的概率为 0.

5、6，现为 某事可行 以否而独立地征求各顾问意见，并按大多数人的意见作出决策，求作出正确决 策的概率。 解解 设表示 5 个顾问中贡献正确意见的人数，每当征求一个顾问的意见时，X 就相当于作了一次贝努里试验，则，按大多数人的意见作出决策就是求)6 . 0 , 5( BX=。)3(XP68. 04 . 06 . 05535iiiiC3.泊松分布泊松分布若随机变量的所有可能取值是，且对应取值的概率是X, 2 , 1 , 0X，, 2 , 1 , 0!)(kenkXPk 则称随机变量服从参数为的泊松分布。记为。它产生的背景是：X)(PX在某一时刻，随机质点流源源不断地涌现出来的随机现象。例例 在服务系

6、统中 1）电话总机在某眼一时刻接到的呼唤的次数； 2）上午 9 点到 10 点在商店里的顾客人数； 3）下午 4 点到 5 点在车站侯车的人数等等。 例例 每分钟通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布。且已知在 1 分钟内X 没有车辆 通过的概率为 0.368，求 1 分钟内至少有两辆车通过的概率。解解 因为服从泊松分布，但参数未知，由可有X,368. 0)0(XP。若设，由题意，)368. 0ln(368. 0! 00 e)(PXeXPXPXPXP! 1368. 01) 1()0(1)2(1)2(1=1-0.368-0.368-ln(0.368)=0.264。泊松定理泊松定理 在重贝努里试验中

7、，设表示事件在每次试验中出现的概率，nnPA若当充分地大，又小时，则, 2 , 1 , 0, 10,lim nPnPnnnnp。即当充分地大，又小时有ekPPCk knk nk nk nn!)1 (limnp。npekkPkn, !)(例例 保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的 概率。设 有 1000 人在该公司投保，而每个人在一年内死亡的概率为 0.005，试求在未来的一年内，在这些投保人中死亡的人数不超过 10 人的概率。解解 设是投保的 1000 人中死亡的人数，则，所求的概X)005. 0 ,1000( BX率，5005. 01000,995. 0005. 0

8、)10(100!10001001000 npeCXPiiiiiii若记，查表：，k kkeP5!5 084224. 0,033690. 0,006738. 0210PPP所以,065278. 0,175467. 0,140374. 01043PPP。986. 0)10(1010PpPXP4几何分布几何分布首次成功的概率首次成功的概率作实验，第次才成功；检查产品，直到出现次品为止等，都可以用几何k 分布来描述。 设在重贝努里试验中，每次试验中事件发生的概率为，而不发生的nAp 概率为记表示事件首次发生时已进行的试验次数，则的概率分布列为,1qp XAX，记为，容易验证, 2 , 1,)(1kpq

9、kXPk)(GX1)1 (11)1 ()(111kkkppppkXP习题二习题二 3，4，7，8，11，12。一、离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量的分布函数由于离散型随机变量的取值是可数，故它的分布函数是一种阶地梯形函数，即 。 xxk xxkkkPxXPxXPxF)()()(例例 袋中有 5 个球，分别编号 1，2，5。从中任取 3 个球， ，求取出的 3 个球中最大号码的概率分布列及其分布函数。X 解解 因为表示取出的 3 个球中最大号码，故的所有可能取值为XX3，4，5。而在 5 个球中任意取出的 3 个球的方法有，而出现的概率3 5C3X是，取出的 3 个球中最大号1011)

10、3(3 5CXP103)4(3 52 3CCXP2 3C码为 4，另外两个是在 1，2，3 中任取 2 个；取出的2 43 52 4,53)5(CCCXP3 个球中最大号码为 5，另外两个是在 1，2，3，4 中任取 2 个球。则所求的概 率分布列为X 3 4 5P 10110353所求的分布函数 ,152 103 101)(,543, 5, 51103 101)4()3()(,434, 54104101)3()(,33, 43,431010)(, 3,30)(xFXXXxXXxXPXPxFXXXxxPxFXXxxxFxXxxxF当当当所以当分布函数图是一个阶梯形，因为，在每一个取值点处， x

11、xkkPxF)(kxX 函间断，在函数间断点处，其跳跃度为。kkPxXP)(3 连续型随机变量的概率分布密度及其分布函数连续型随机变量的概率分布密度及其分布函数 一、一、概率分布密度概率分布密度1.定义定义 设是随机变量的分布函数，若对任意的实数，存在非负函)(xFXx数),(xf使得成立，则称非负函数为随机变量的分布概率密度xdttfxF)()(),(xfX函数，简称为密度函数，称随机变量为连续型随机变量。X 2.概率密度函数的性质：)x(F)x(Fdx)x(f3; 1dx)x(f2;0)x(f121xx00021在点连续处，有。04)(xfxdxxdFxf)()(。0)(50kxXPx有对

12、任意的实数例例 设某种晶体管的寿命（单位：小时）是一个随机变量，其密度函数X 为：试求： 其它，0100,)(2xCxxf1）常数；2）该种晶体管工作不超过 150 小时的概率；3）一台仪器中装C 有 4 只此 种晶体管，试求工作 150 小时后至少有 1 只失效的概率，假定这 4 只晶体管是 否失效是互不影响。 解解 1）因为，得1)(dxxf.1001100100111002 CC xCdxxC2）由题意，求.31100)()150(1501501002dxxdxxfXP3）设表示第 只在工作 150 小时后失效，iAi4） ，而是相互独立，则所求31)150()(, 4 , 3 , 2

13、, 1XPAPii4321,AAAA概率为8165 3111)()()()(1)(1)(443214141 APAPAPAPAPAPii ii二、一些常见的连续型随机变量的分布二、一些常见的连续型随机变量的分布1.均匀分布均匀分布若随机变量在区间内等可能地取值，其分布密度为X,ba则称随机变量服从区间上的均匀分均匀分 其它,0,1 )(bxaabxfX,ba布布，记为。例例：1）在计算数据时，小数点后的舍入误差；2）观察时钟的分,baUX针所指的刻度；3）在某个时段内，发车的时间等，这些随机现象都是服从均匀 分布。 均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数 dxabdxxfdxxfdxxfxFxa

14、axax1)()(_)()(所以 。)(xF bxbxaabaxax1,0例例 设某人午觉醒来，发现表已停了，他打开收音机想听电视台报时，求他 在 10 秒 钟内听到报时的概率。 解解 由于电视台是每分钟报时一次，他打开收音机的时刻是在两次报时之间。设 是他打开收音机听到报时所需的时间，单位是秒。则应X60, 0(XX服从内的均匀分布。其密度函数为，要求他在 10 秒60, 0( 其他0600,601 )(xxf钟内听到报时的概率为。61 601)()10(100100dxdxxfXP一般，若，则其密度函数函数就等于区间长度分之一，即,baUX)(xf，要计算，就是说，如果随机abxf1)(ababbXaP11 11)(,11baba变量在某个区间内服从均匀分布，要计算它落在区间内某一直线段的概率，X 只要用区间长度之比即可。这类问题我们又称为几何概率。2指数分布指数分布如果随机变量的分布密度函数为X，其中，为常数。 000,)(xxexfx0则称随机变量服从参数为的指数分布，记为。XX)(E在实际问题中，象半导体元件的寿命，动植物的寿命，在排队论中， “等待 时间