扭转-2003 材料力学 课件

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1、材 料 力 学第三章 扭 转 Torsion3-1 概念与实例 Concepts and Examples圆轴shaft: 传 动轴，动力轴，通 常为圆截面直杆。 受力及变形的基本 情况如图:受一对作用在垂直于杆轴的两个平面内的力 偶（其矩相等，转向相反）作用。受力情况:任意两横截面绕杆轴线作相对转动，因而有 相对角位移，称为扭转角Twisting angle。同时，杆的纵向直线变为螺旋线（小变形时可 近似为倾斜线）。变形情况:用材力的方法只能解 决等直圆杆（实心OR圆筒） 的扭转问题和闭口薄壁直杆 的自由扭转问题。3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Lo

2、ads扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure 3.2.1 Calculation of Torsional Loads Torsional moment 一、手摇绞车之类: mc=QR or mc=Pb 外力作用点到轴心的距离WD3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure 二、机器传动轴:已知轴的转速为n(rpm); 传递的功率P(kW=kNm/s)则: 单位时间所做的功为: W=P=me(2pn/60)所以 me=(30/) (N/n)=9.549 N(kw)/n(

3、rpm) -(3-4)注: 主动轮上的外力偶矩（me）与轴的转向一致；被动轮 上的外力偶矩（me）与轴的转向相反 。注意到: 1kW=1.36PS(马力),故有:3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads 扭矩及扭矩图 Torque and Torque FigureT(MT )可根据作用于圆轴上的外力偶矩mi由截面法求出; T(MT )的量纲: 力长度 常用单位: Nm；kNmT(MT )的正负规定: 如图，按右手螺旋法则确定3.2.2 扭矩Torque-扭矩轴的内力Internal forces of Torsion shaft 扭矩图 Torqu

4、e Figure 一、扭矩Torque:外力偶矩作用于圆轴后，产生: 扭转变形横截面的分布内力(剪应力)内力偶矩T (or MT ,扭矩)3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure 3.2.2 Torque-Internal forces of Torsion shaft Torque Figure 二、扭矩图 Torque Figure 按扭矩沿轴线的变化所作的内力图扭矩图 求Torque的基本方法: 截面法(注意用设正法)如图,nn截 面上()部分(右 侧)的扭矩大小和 方向可由下面两

5、 种方法确定:()右侧部分自身平衡(外力偶矩m4, m5与T(MT)平衡),求出的T(MT)大小 和方向作用于右侧部分的nn截面。()左侧部分外力偶矩(m1, m2, m3)的代数和,求出的T(MT)大小和方向作 用于右侧部分的nn截面。如果研究其右半段杆的平衡，则在同一横截面上所求得的扭矩 在数值上与上面得到的相等但转向却相反(图c)。为使从两段杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致,对 扭矩的正负号应按杆的变形情况来规定。习惯上规定杆因扭转而使 其纵向线在某一段内有变成右手螺旋线的趋势时，则该段杆横截面 上的扭矩为正，反之为负。设一等直圆杆如图a所示，作 用在杆上的外力偶矩分别为: m

6、1=6m，m2=m，m3=2m，m4=3m。先 求杆中间BC段中任一横截面I I上的扭矩。用截面法将杆沿横截 面II处假想地截分为二，并 研究其左半段杆(图b)的平衡。由 平衡方程得:3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure此外，还可以将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示，并规定 当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负。这两种对扭矩正 负号的规定是一致的。按此规定，在图b或c中所示横截面II上的扭矩TI应 为正号。扭矩Tl的转向如图b所示。这样，就可以使得按左段杆和右段杆的平衡条 件所

7、得到的同一截面上的扭矩在正负号上相一致。为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况，从而确定最 大扭矩及其所在横截面的位置，可仿照轴力图的作法(参见2-2) 绘制扭矩图。 绘出图a所示的杆的扭矩图如图d。可见，最大扭矩 Tmax在杆的左端一段内任一横截面上，其值为6m。作扭矩图如图d。可见,最大扭矩Tmax在CA段内,其值为9.56 kNm。3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure例题3-2:一传动轴如图a所 示，其转速n=300r/min，主动 轮输入的功率P1=500kW。若不 计轴

8、承摩擦所耗的功率，三个 从动轮输出的功率分别为: P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW 。试作轴的扭矩图。 解:首先按公式(34a)计算外 力偶矩(图a)然后,由轴的计算简图(图b),用截面法计算各段轴内的扭矩,扭矩的正负号按前 述的规定。先计算CA段内任一横截面IIII(图b)上的扭矩。沿横截面IIII将轴截 开,并研究左边一段轴的平衡,假设TII为正值扭矩,由平衡方程结果为负号,说明TII应是负 值扭矩(图c)。实质: 圆轴无轴向(伸缩)变形。圆轴受扭后，轴线无伸缩。即两横截面间的距离保持不变。3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.

9、4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.因为MT为绕轴线x的力偶矩，故只可能由横截面内的应力剪应力合成。由实验观察得圆轴扭转变形如图 ,其纵向直线(与杆轴x平行)变成相互 平行的斜线。而圆周线的形状和尺寸 均未变,圆周线之间的距离也未改变 。故对圆轴扭转可作如下假设: (刚)平面假设 Hypothesis of Rigid Cross Section:圆轴受扭变形后,所有横截(平)面仍保持为平 面,但绕杆轴线不同程度地转动了一个角度。(两相 邻(dx)的横截面11,22产生相对转动角d)。实质: 横截面无翘曲变形。刚轴线假

10、设 Rigid Axis Hypothesis:以上两假设相当于把圆轴杆看成穿在刚性轴线上的无数圆薄片组成，两相邻 圆薄片之间存在抗扭（转角）刚度。在受到扭矩作用时，每一圆薄片相对原来位 置转动了一个角度。两相邻圆薄片之间存在相对扭转角d。一、推导应力公式:3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.变形的几何方面: 从受扭圆轴中取dx 微段来研究,如图:定义叫:单位长度扭转角Unit lengths angle of twist (in radi

11、ans) 则（a）随线性变化，圆心处为0，圆周处为最大值。 物理方面: 将本构关系代入(a)式，即可。 当杆内应力时，有:(b)静力学方面: 横截面上的切向内力元素对圆心的力矩合成扭矩MT(注意到为与半径垂直的周切线方向的剪应变，故): 将(b)代入,得: (G在积分的横截面内为常数，可提出来)故:3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.2,圆环截面:(35) 其中: 为由横截面形状和尺寸决定的几 何常数，叫:极惯性矩 Polar Moment

12、 of Inertia 。常用单位为:m4 or mm4代入(b)式得:(36)由(36)式知:只与MT、Ip有关，在 静定问题中与所用材料无关。 正比于其横截面上的扭矩MT； 反比于其横截面的极惯性矩Ip；正比于欲求此应力的点到圆心的距离； 圆心处= 0；圆周处最大；最大值为: r的分布情况及方向如图所示: 式中:叫抗扭截面模量(Section Modulus of Torsion)； 常用单位为: m3 or mm3 。几何量Ip,Wt的计算:1,实心圆截面:3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & De

13、formation of Shaft in Torsion. 二、扭转破坏现象分析Phenomenon Analyses of Torsional Failure如图，由剪应力互等定律，圆轴杆受扭时 纵向存在与圆周向剪应力互等的剪应力。 又由圆轴受扭时的变形假设，有:1,纵向线应变(两圆周线变形后间距不变)2,因横截面直径不变,故(ls圆周向)故又纯剪切单元体45和135两斜面上有smin or smax,且 由于各类材料的性质不同,抵抗剪切,抵抗拉伸变形的能力 各异,故受扭破坏的常见现象有:a,沿橫截面抗剪切能力相对其它抗力较弱时，沿横截面被剪断（如软钢）b,b顺纹b横纹的木材，竹子等材料，

14、受扭时沿径向纵截面剪开而破坏。c,铸铁等脆性材料的抗线伸长变形能力（lb）相对小于抗剪切能力（b）故 受扭破坏时沿与杆轴线X成45角的螺旋形曲面拉断。3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion. 平面纯剪单元体任意斜截面上的应力Stress in the oblique section pure shear element研究图示纯剪状态下与零应力面垂直的任意 斜截面上的应力,设：e-f面面积dA，则:b-f面面积为dAsina e-b面面积为dA

15、cosa即即由,得：a由x轴转向斜截面外法线方向 n 为逆时针转 时为正，反之为负。 (=-)为y向剪应力的大小,由,得：讨论：1,2,(对应:, 此时 )3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.扭转角j 的单位为弧度(rad)。GIp叫等直圆杆的抗扭刚度三、受扭圆轴的变形Deformation of Shaft in Torsion由:, 得:对MT为常数的等直杆,有:3-4 等直圆杆的扭转Torsion of Prismatic Shaft 3.4.2受扭圆轴的强度条件和刚度条件一、受扭圆轴的强度条件: 同样可解三类问题。二、受扭圆轴的刚度条件:仍然可解三类问题。因为q常用单位为: / m，故有:三、受扭圆轴的超静定问题:扭转变形能如图，故meme可见当mc从 0Mc时，此圆柱外力作功为:弹性阶段 变形能U=T，故:结论适用条件: Rd (可忽略曲率影响,式中d为:弹簧直径)； 小间距（密圈） 使: 忽略剪力(Q=P)对弹簧变形的影响； 线弹性范围:ex ,密圈螺旋弹簧(closecoiled helical spring )结论:故:弹簧刚度45非圆截面杆纯扭