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1、Char 10 Properties of Plane AreasChar 10 Properties of Plane Areas(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)第第1010章章 截面的几何性质截面的几何性质(Char 10 Properties of plane areas)(Char 10 Properties of plane areas) 10-110-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心(The first (The first moments of the area & moments of the ar
2、ea & centroidcentroid of an area) of an area)10-410-4 转轴公式转轴公式 (Rotation of axes)(Rotation of axes) 10-2 10-2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 (Polar (Polar moment of inertia Moment of inertia moment of inertia Moment of inertia Product of inertia)Product of inertia) 10-310-3平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-Axis theore
3、m)(Parallel-Axis theorem)(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)10-110-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心(The first moment of the area & (The first moment of the area & centroidcentroid of of an area) an area) 一、静矩一、静矩(The first moment of the area (The first moment of the area ）OyzdAyz截面对截面对 y y , ,
4、z z 轴的静矩为轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零. .(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)yzOdAyz二、截面的形心二、截面的形心( (CentroidCentroid of an area) of an area)C（2 2）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零. .（1 1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心. .(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Area
5、s)三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心 (The first moments &(The first moments ¢roidcentroid of a composite area) of a composite area) 由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面. .截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩. .(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)其中其中 A Ai i
6、第第 i i个简单截面面积个简单截面面积1.1.组合截面静矩组合截面静矩(The first moments of a composite area) (The first moments of a composite area) 2.2.组合截面形心组合截面形心( (CentroidCentroid of a composite area) of a composite area)第第 i i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积
7、法解之. .方法方法1 1 用正面积法求解用正面积法求解. . 将截面分为将截面分为1 1，2 2 两个矩形两个矩形. .例题例题1 1 试确定图示截面形心试确定图示截面形心C C的位置的位置. .取取 z z 轴和轴和 y y 轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘重合重合101012012Ozy90图图(a)(a)(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)矩形矩形 1 1矩形矩形 2 2所以所以101012012Ozy90(Properties of Plane Areas)(Properties of Pla
8、ne Areas)10-210-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积极惯性矩、惯性矩、惯性积(Polar moment of inertia(Polar moment of inertia、Moment of Moment of inertiainertia、Product of inertia)Product of inertia)yzOdAyz二、极惯性矩二、极惯性矩 (Polar moment of inertia(Polar moment of inertia）一、惯性矩一、惯性矩(Moment of inertia)(Moment of inertia)所以所以(Properties of
9、Plane Areas)(Properties of Plane Areas)yzOdAyz三、惯性积三、惯性积 (Product of inertia)(Product of inertia)（1 1）惯性矩的数值恒为正惯性矩的数值恒为正，惯性积则可惯性积则可 能为正值能为正值，负值负值，也可能等于零也可能等于零；（2 2）若）若y y，z z 两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的对称轴对称轴，则截面对则截面对y y，z z轴的惯性积轴的惯性积一定等于零一定等于零. .yzdydyzdAdA四、惯性半径四、惯性半径(Radius of gyration of the area)(
10、Radius of gyration of the area)(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)解：解：bhyzCzdz例题例题2 2 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴y y, , z z轴的惯性矩轴的惯性矩. .(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)zyd解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O O 的极惯性矩为的极惯性矩为例题例题3 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩. .所以所以d另法：另法：(Propert
11、ies of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of (Parallel-Axis theorem for moment of inertia)inertia)( (a , ba , b ) ) 形心形心C C在在 yOzyOz坐标系下的坐标坐标系下的坐标10-3 10-3 平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-axis theorem)(Parallel-axis theorem)y,zy,z 任意一对坐标轴任意一对坐标
12、轴C C 截面形心截面形心(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)yzOC(a,b)bazCyCy yC C , , z zC C过截面的形心过截面的形心 C C 且与且与 y y, , z z轴平行轴平行的坐标轴的坐标轴( (形心轴）形心轴）I Iy y , , I Iz z , , I Iyzyz 截面对截面对 y y, , z z 轴的惯性矩和惯性积轴的惯性矩和惯性积. .已知截面对形心轴已知截面对形心轴 y yC C , ,z zC C 的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的
13、y,zy,z轴惯性矩和轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式：惯性积，则平行移轴公式：I Iy yC C, , I Iz zC C , , I Iy yC Cz zC C截面对截面对形心轴形心轴 y yC C , , z zC C的惯性矩的惯性矩和惯性积和惯性积. .dAy1y同理同理(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩 、惯性积、惯性积( Moment of inertia & ( Moment of inertia & product of inertia for composite
14、areasproduct of inertia for composite areas）组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积: :第第 i i个简单截面对个简单截面对 y y, , z z 轴的惯性矩轴的惯性矩，惯性积惯性积. .(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)例题例题4 4 求倒求倒T T形截面对其形心轴形截面对其形心轴 y yC C的惯性矩的惯性矩. .解：将截面分成两个矩形截面解：将截面分成两个矩形截面. .2014010020截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 z zC C 上上. .取过矩形
15、取过矩形 2 2 的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作 y y轴轴. .21zCyC所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为y(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)2014010020y21zcyC(Properties of Plane Areas)(Properties of Plane Areas)一一 、转轴公式、转轴公式 (Rotation of axes)(Rotation of axes)10-410-4 转轴公式转轴公式 (Rotation of axes)(Rotation of axes)yOzyOz为过截面上的任为过截面上的任 一点建立的坐标系一点建立的坐标系 O yzy1z1y y1 1OzOz1 1为为yOzyOz 转过转过 角后形成的新坐标系角后形成的新坐标系顺時针转取为顺時针转取为 号号逆時针转取为逆時针转取为 + + 号号 已知截面对坐标轴轴已知截面对坐标轴轴 y y, , z z 轴的惯性矩和惯性积求截面对轴的惯性矩和惯性积求截面对 y y1 1，z z1 1轴惯性矩和惯性积轴惯性矩和惯性积. .(Propertie
