《数学物理方程(谷超豪)第二章 热传导方程习题解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程(谷超豪)第二章 热传导方程习题解（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 二二 章章 热热 传传 导导 方方 程程 1 热传导方程及其定解问题的提热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l， 假设它在同一截面上的温度是相同的， 杆的表面和周围介质发 生热交换，服从于规律 dsdtuukdQ)(11= 又假设杆的密度为，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x轴，此时杆为温度),(txuu =。记杆的截面面积42l为S。由假设，在任意时刻t到tt+内流入截面坐标为x到xx+一小段细杆的热量为 txs xuktsxuktsxukdQxxxx =+221杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假
2、设，在时刻t到tt+在 截面为x到xx+一小段中产生的热量为 ()()txsuulktxluukdQ=111124 又在时刻t到tt+在截面为x到xx+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()txstucxstxuttxucdQt=+=,3由热量守恒原理得： ()txsuulktxs xuktxstucxt = 11 224 消去txs，再令0x，0t得精确的关系： ()11 224uulkxuktuc = 或 ()()11 222 11 2244uulckxuauulckxu ck tu = = 其中 cka=22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s，
3、其包围的区域 为，则从时刻1t到2t流入此闭曲面的溶质，由dsdtnuDdM=，其中D为扩散系数，得 =21ttsdsdtnuDM 浓度由u变到2u所需之溶质为 ()() =2121121,ttttdvdttuCdtdvtuCdxdydztzyxutzyxuCM 两者应该相等，由奥、高公式得： = + + =21211ttttdvdttuCMdvdtzuDzyuDyxuDxM 其中C叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C。由于21,tt的任意性即得方程： + + = zuDzyuDyxuDxtuC 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正
4、比。以( )tQ表示它在单位体积中所储的热量，0Q为初始时刻所储的热量，则QdtdQ=，其中为常数。又假设砼的比热为c，密度为，热传导系数为k，求它在浇后温度u满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。 由QdtdQ=及00QQt=得( )teQtQ=0。 由假设，放热速度为 teQ 0它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书 71 页，(1.7)式得 =+ += ckaecQ zu yu xuatut20 222222 24. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u的介质中， 试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224. 0criuucPk xu ck tu+=其中i及r分
5、别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面积， 而k表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原 71 页(1.7)及(1.8)式知方程取形式 为 ()txf xuatu,222+ =其中()()()txFctxFtxfcka,/,2=为单位体积单位时间所产生的热量。 由常电流i所产生的()txF,1为22/24. 0ri。 因为单位长度的电阻为r， 因此电流i作功为 ri2 乘上功热当量得单位长度产生的热量为/24. 02ri其中 0.24 为功热当量。 因此单位体积时间所产生的热量为22/24. 0ri 由常温度的热交换所产生的(视为“
6、被动”的热源)，从本节第一题看出为 ()014uulk 其中l为细杆直径，故有lllp4 4/2 =，代入得 ()()012,uupktxF=因热源可迭加，故有()()()txFtxFtxF,21+=。将所得代入()txf xuatu,222+ =即得所求： ()2201 2224. 0criuucPkxu ck tu+ =5*. 设物体表面的绝对温度为u，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒-波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于4u ，即 dsdtudQ4= 今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已 知函数),(tzyxf,问此时该物体热传导
7、问题的边界条件应如何叙述？ 解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为,|4 1dsdtudQs=辐射进来的热量为,|4 2dsdtfdQs=因此由热量的传导定律得边界条件为： |44 sssfunuk= 2 混合问题的分离变量法混合问题的分离变量法 1 用分离变量法求下列定解问题的解： =)0()()0 ,()0(0),(), 0(0 , 0()222xxfxuttxutuxt xuatu解：设)()(tTxXu =代入方程及边值得 =+=+00)(0)0(02“TaTXXXX求非零解)(xX得xnxXn nn212sin)(,4) 12(2+=+= ), 1, 0(L=n 对应为
8、 tnanneCtT4) 12(22)(+= 因此得 =+= 04) 12(212sin),(22ntnanxneCtxu 由初始值得 =+= 0212sin)( nnxnCxf 因此 +=0212sin)(2xdxnxfCn 故解为 =+= 004) 12(212sin212sin)(2),(22ntna xnednftxu 用分离变量法求解热传导方程的混合问题 =)0(0), 1 (), 0(1211210 )0 ,() 10 , 0(22ttutuxxxx xuxt xu tu解：设)()(tTxXu =代入方程及边值得 =+=+ 00) 1 ()0(0“ TTXXXX 求非零解)(xX
9、得xnXnnnsin,22= n=1,2, 对应为 tn nneCT22= 故解为 = 1sin),(22ntn nxneCtxu由始值得 =lxe为单调增函数之故。因此没有非零解)(xX。 )2(当0=时，通解为 axXbaxxX =+= )( )(由边值得 0)( )0( =alXX 即b可任意，故1)(xX为一非零解。 )3(当0时，通解为 xBxAxXxBxAxXcossin)( sincos)(+=+=由边值得 =+=0cossin)( 0)0( lBlAlXBX因, 0故相当于 = 0sin0 lAB 要)(xX非零，必需, 0A因此必需, 0sin=l即 )( 整数nnl=)(
10、整数nln=这时对应 ) 1(cos)(=AxlnxX取因n取正整数与负整数对应)(xX一样，故可取 LLLL, 2 , 1cos)(, 2 , 1)(2=nxlnxXnln lnn对应于, 1)(, 00=xX解 T 得00)(CtT= 对应于,)(2 ln=,cos)(xlnxXn=解 T 得tlannneCtT2)()(= 由迭加性质，解为 =+=1)(0cos),(2ntlannxlneCCtxu=0)(cos2ntlannxlneC由始值得 =0cos)(nnxlnCxf因此 =l dxxflC00)(1=lnxdxlnxflC0cos)(2LL, 2 , 1=n 所以 =+=lnl
11、tlan xlnedlnfldxxfltxu010)(coscos)(2)(1),(2当constuxf=0)(时， 0cos2,1000 000=xdxlnulCudxulClnlL, 2 , 1=n 所以 0),(utuu= 4在, 0tlx oxX时，才有非零解。这时通解为 xBxAxXsincos)(+= 由边值得 00)0(=AAX得 0sincos(cos)(sin)(=+=lHlBxBxXxBxX要0B，即有非零解，必须 0sincos=+lHl 即 Hltg= 令 HlPl=, 得 ptg= 它有无穷可数多个正根，设其为LL,21得 22 ,sin)(lxlxXnnnn= 对应
12、 T 为 tblannn eAtT)(2 222)(+=因此 xleAtxwntblan nn sin),()(12 222 += 其中n满足方程 Hlpptg= 再由始值得 labHashlabbchxlabHashxlabbch vxlAnn n+ =)()( sin01所以 =l nl nn xdxlxdxlvA020sinsin应用n满足的方程，计算可得 +=lnnn ppplxdxl0222 2) 1(2sin 又 +=labchllabxdxlxlabchnnl n(1sin)(2222 0l nnxlxabshabxlx 0sin)1 (cos)cos(222222 labchl
13、llbalan nnn+ += )(cos222222 labch lbala n nn += +=labchablbaxdxlxlabshnl n(1sin)(2222 0l nnnxalxabshlxlx 0cos)1 (sin)sin(222222 labshlablbalan n n + += 所以 + +=nn nlnb lbalauxdxv cossin222220 0labJasjlabbchlabshHalHblabchbnnn+(sin)()sincos(222220222220 labHashlabbchlHlbalbau lbalaunnnnnn+ +=222220lbalaunn += )(Hltgn n=Q 得 )()()(2222222222 0nnnn npplbapauA += 最后得 + =laulabHashlabbchxlabHashxlab
