工程力学上课课件：弯曲

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1、机 械 工 程 基 础础第一讲讲：平面弯弯曲内内力剪力与弯与弯 矩 第二讲讲：剪力图与弯图与弯 矩图图 第三讲讲：弯弯矩、剪力与载与载 荷集度间间的关关系 第四讲讲：纯弯纯弯 曲梁的正应应力 第五讲讲：常用截面二次矩 平行移轴轴公式 第六讲讲：弯弯曲正应应力强度计计算 第七讲讲：弯弯曲切应应力简简介 第八讲讲：梁的弯弯曲变变形概概述 第九讲讲：用叠叠加法求梁的变变形 第十讲讲：提高梁强度和刚刚度的措施第七章 弯弯 曲第一讲讲：平面弯弯曲内内力剪力与弯与弯 矩目的要求：掌握弯弯曲内内力及其计计算。教学教学 重点：掌握指定截面弯弯矩、剪力的计计算。教学难教学难 点：利用外力直接计计算指定截面的弯弯

2、矩、剪 力。第一讲讲：平面弯弯曲内内力剪力与弯与弯 矩一、弯弯曲的概概念和工程实实例1、工程实实例工程实际实际 中，存在大量的受弯弯曲的杆件，如火车轮轴车轮轴 、单单梁吊车车等等。弯弯曲变变形是工程实际实际 中最常见见的一种种基本变变形在杆的轴线轴线 平面内内受到外力作用，使杆的轴线轴线 由原来来直线变线变为为曲线线，这种变这种变 形称为称为 弯弯曲变变形。凡以弯弯曲变变形为为主的杆件，通常称为称为 梁。 受力特点：通过过杆轴线轴线 的面内内，受到力偶或垂直于轴线轴线 的 外力作用变变形特点：使原有直线线的轴变轴变 成了曲线线2、平面弯弯曲的概概念工程中使用的直梁，其横横截面大多至少有一根对称

3、轴对称轴 （y轴轴），如图图。通过过平面对称轴与对称轴与 梁轴线轴线 确定的平面，称为称为 梁的纵纵向对称对称 面。轴轴 线线FAFBFqM纵纵向对称对称 面yyyy如果作用于梁上的所有外力（包括约约束力）都作用于梁的纵纵向对称对称 面内内，则变则变 形后的轴线将轴线将 是在纵纵向对称对称面内内的一条条平面曲线线。这种弯这种弯 曲变变形称为称为 平面弯弯曲。本章只讨论讨论 梁的平面弯弯曲。二、梁的力学学模型与与基本形式 1、梁的简简化不论论梁的截面形状状如何，通常取梁的轴线来轴线来 代替实际实际 的梁 。2、载载荷的简简化作用在梁上的外力，包括载载荷和约约束力（支座反力），一律可简简化为为三种

4、种形式，即集中力F、集中力偶M和分布载载荷q(x)。分布载载荷若分布均匀匀，则称为则称为 均布载载荷，通常用载载荷集度q表示。其单单位为为N/m。 轴轴 线线FAFBFqM纵纵向对称对称 面qAB qFAB 3、支座的简简化按支座对对梁的约约束作用不同，可按照静静力学学分析，用活动铰动铰 支座、固定铰铰支座及固定端支座进进行简简化。 1.弯弯曲变变形和平面弯弯曲AB 4、静静定梁的基本形式 qAB 1）简简支梁 一端为为固定铰铰支座，另一端为为可动铰动铰 支座的梁根据支承情况况，可将将梁简简化为为三种种形式： AB 2)悬悬臂梁 一端为为固定端,另一端为为自由端的梁qFPAB 固 定 端自 由

5、 端3) 外伸梁 一端或两两端向外伸出的简简支梁双杠横杆qABD C q AFBC qAB qFAB 这这些梁的计计算简图简图 确定后，其支座反力均可由静静平衡条条件完全确定，故称静称静 定梁。如果梁的支反力数数目多于静静力平衡方程数数目，支反力不能完全由静静力平衡方程确定，这种这种 梁称为静称为静 不定或超静静定梁 。 C 图图示悬悬臂梁，若已知梁长长 为为l，主动动力为为F，则该则该 梁的约约束反力可由静静力平衡方程求得， 即FB=F，MB=Fl。欲求任意横横截面m-m上的内内力，可在m-m处处假想将将梁截开开。留左半段为研为研 究对对象，因左右两两半本属属固连连，故其内内力状况状况与静与

6、静 力学学中固定端的约约束作用 同，内内力向截面m-m的形心O简简化，为为一力FQ与与一力偶M。FlxABy1用截面法分析梁截面上的内内力FB三、梁的内内力（剪力与弯与弯 矩）计计算 mmFQMMBxFOAxmml-xBFBMBmmOFQM式中FQ称为称为 剪力，它它是与与横横截面平行内内力的合力。M称称为横为横 截面上的弯弯矩，它它是横横截面上垂直内内力对对其形心的合力矩。式（a）称为称为 剪力方程，式（b ）即称为弯称为弯 矩方程。列出平衡方程，可得 Fy0 F-FQ0 FQ F （a）MO(F)0 M- Fx 0 M Fx ( b ) FlxAByFBmmFQMMBxFOAxmml-xB

7、FBMBmmOFQMMM为为使取左段或取右段得到的同一截面上的内内力符号号一致，特规规定如下： 规规定：当当截面上的剪力FQ使研研究对对象有顺时针转顺时针转 向趋势时为趋势时为 正，反之为负为负 。FQFQFQFQMM+当当截面上的弯弯矩M使研研究对对象产产生向下凸的变变形时时（即上部受压压下部受拉）为为正，反之为负为负 。+归纳为归纳为 口诀诀：“左上右下，剪力为为正；左顺顺右逆，弯弯矩为为正”计计算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面之左（或右）段上所有外力的代数数和；弯弯矩大小等于截面之左（或右）段上的所有外力对对截面形心力矩的代数数和。在实际计实际计 算中，剪力和弯弯矩的符号号一般皆设

8、为设为 正，如果计计算结结果为为正，表明实际实际 的剪力和弯弯矩与图与图 示方向一致；若结结果为负为负 ，则与则与图图示方向相反。 研研究对对象在截面的右边边FQF左M=MC(F左)FQF右M=MC(F右)研研究对对象在截面的左边边A D2a 2a 2aq BCaM11 例： 外伸梁DB受力如图图。已知均布 载载荷集度为为q，集中力偶M=3qa2。图图 中2-2与与3-3截面称为称为 A点处处的临临近截 面，即0；同样样4-4与与5-5截面为为C点处处的临临近截面。试试求梁各指定截面的 剪力与弯与弯 矩 。FBFA2 32 34 54 5解 1）求梁支座的约约束力。取整个个梁为研为研 究对对象

9、，画画受力图图。 列平衡方程求解得 MB(F)=0 -FA 4a-M+q 2a 5a=0 得 FA=7qa/4Fy0 FB +FA-q 2a=0得 FB=qa/4A D2a 2a 2aq BCaM11 FBFA2 32 34 54 52）求各指定截面上的剪力与弯与弯 矩1-1截面：由1-1截面左段梁上外力的代数数和求得该该截面的剪力为为： FQ1=-qa由1-1截面左段梁上外力对对截面形心力矩的代数数和求得该该截面的弯弯矩为为M1=-qa a/2= -qa2/2 2-2截面：取2-2截面左段梁计计算，得FQ2=-q 2a=-2qaM2=-q 2a a=-2qa2A D2a 2a 2aq BCa

10、M11 FBFA2 32 34 54 53-3截面：取得3-3截面左段梁计计算得FQ3=-q 2a+FA=-2qa+7qa/4= -qa/4M3=-q 2a a= -2qa24-4截面：取4-4截面右段梁计计算，得FQ4=-FB = -qa/4M4=FB 2aM= qa2/2- 3qa2=-5qa2/25-5截面：取5-5截面右段梁计计算，得FQ5=-FB = -qa/4M5=FB 2a= qa2/2由以上计计算结结果可以看出：1）集中力作用处处的两两端临临近截面上的弯弯矩相同，但剪力不同，说说明剪力在集中力作用处产处产 生了突变变，突变变的幅值值等于集中力的大小。2）集中力偶作用处处的两侧临

11、两侧临 近截面上的剪力相同，但弯弯矩不同，说说明弯弯矩在集中力偶作用处产处产 生了突变变，突变变的幅值值等于集中力偶矩的大小。3）由于集中力的作用截面上和集中力偶的作用截面上剪 力和弯弯矩有突变变，因此，应应用截面法求任一指定截面上的剪力和弯弯矩时时，截面应应分别别取在集中力或集中力偶作用截面 的左右临临近位置。 作业业：试试求图图示梁指定截面上的剪力和弯弯矩。 设设q，a均为为已知 (1)(2)目的要求：掌握剪力图弯图弯 矩图图的绘绘制。教学教学 重点：利用剪力方程与弯与弯 矩方程绘绘制剪力图弯图弯 矩图图教学难教学难 点：剪力图弯图弯 矩图图的绘绘制规规律的理解。第二讲讲：剪力图与弯图与弯

12、 矩图图若梁中间还间还 有其他载载荷，因各段的分离体的受力图图不同，应应按载载荷作用位置分段计计算。故在一般情况况下，所谓谓剪力方程只是在梁的某一外载载无变变化的这这段内内，梁任意截面上的通式。可记为记为 ：FQ FQ(x) 该该式称为称为 梁的剪力方程。弯弯矩方程也同样样是梁的外载载无变变化的这这段内内，梁任意截面上弯弯矩的通式。可记为记为 ：M M (x) 该该式称为称为 梁的弯弯矩方程。第二讲讲：剪力图与弯图与弯 矩图图以上两个两个 函数数表达达式称为称为 剪力方程和弯弯矩方程，根据这这两个两个 方程，画画出剪力和弯弯矩沿梁轴线变轴线变 化的图图形，这样这样 的图图形称为称为 剪力图与弯

13、图与弯 矩图图。此法颇为颇为 繁琐琐。不过过，在上述基本方法的基础础上进进一步探索梁上载载荷与与由之而生的剪力图图、弯弯矩图图的关关系，发发展成为为一种种方便的剪力与弯与弯 矩图图的作法，下节将讲节将讲 述。 一般情况况下，梁横横截面上的剪力和弯弯矩随随截面位置的不同 而变变化，若以梁的轴线为轴线为 x轴轴，坐标标x表示横横截面的位置，则则 可将将梁横横截面上的剪力和弯弯矩表示为为坐标标x的函数数，即FQ FQ(x) M M (x)利用剪力图图和弯弯矩图图很容易确定梁的最大剪力和最大弯弯矩，以及确定危险险截面的位置。绘绘制剪力图图和弯弯矩图图的步骤骤：1）求支座反力2）列剪力方程和弯弯矩方程3

14、）作剪力图图和弯弯矩图图lAB FCba例简简支梁受载载如图图所示。若已知F、a、b，试试作梁的FQ图图和M图图。 解 1)求支反力。以整体为为研研究对对象，由平衡方程可得 FBFAlAB FCba2)列剪力方程和弯弯矩方程由于点有集中力的作用，则则段和段的剪力方程和弯弯矩方程应应分段列出lAB FCbaxMxFQ00Fa/lM图FQ图Fb/l+Fab/l+)画画剪力图图和弯弯矩图图如图图所示1）从从剪力图图和弯弯矩图图可以看出，在集中力F作用处处，剪力发发生 突变变，突变值变值 等于该该集中力的大小。 2）在集中力作用处处，弯弯矩出现现最大值值，若a=b，则则最大弯弯矩值值出现现在梁中点处处

15、。lAB qFBFA例2、如图图所示简简支梁，在AB上作用了集度为为q的均布载载荷，作此梁的剪力图图和弯弯矩图图解 1)求支反力。以整体为为研研究对对象，由平衡方程可得 2)列剪力方程和弯弯矩方程)画画剪力图图和弯弯矩图图如图图所示 M0ql2/8 + xM图xql/2FQ图ql/2+FQ0lAB qlAB MCba解 1)求支反力。以整体为为研研究对对象，由平衡方程可得 2)列剪力方程和弯弯矩方程由于点有集中力偶的作用，则则段和段的剪力方程和弯弯矩方程应应分段列出例：如图图所示简简支梁，在截面作用一力偶矩为为的集中力偶，作出此梁的剪力图图和弯弯矩图图)画画剪力图图和弯弯矩图图如图图所示lAB MCbaxxFQ0Ma/lM图M/l+Mb/l M0FQ图C D B E4m 4m 4m1kN/m A4 m10kNm2kNFA=7kN ，FB=5kN 外伸梁受载载荷如图图。试试求其梁的剪力图图和弯弯矩图图 。