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1、第5章 岩体的本构关系与强度理论5.1 弹性体的本构关系1、空间问题2、平面应力问题3、平面应变问题材料进入塑性后的特点：应力应变关系非线性、非一一对应性 ；应变与应力状态有关，还与变形历史有关。考虑变形历史，研究应力和应变增量的关系-增量理论。 1、基本假定：应变偏量增量与应力偏量成正比材料不可压缩材料是理想刚塑性材料满足Mises 屈服条件 2、应变增量的Lode参数与形式指数Lode试验 Lode参数代表Mohr圆心的相对位置5.2 塑性体本构关系类似地应力空间的概念Haigh-Westgaard应力空间等效应力应力形式指数（应力状态特征角）在平面上，等效应力i与最大主应力投影方向1 的
2、夹角 123O123、应力Lode参数与应变增量Lode参数的关系对于一系列的应力和应变增量，可求出相应的Lode参数试验得出结论、应力形式指数与应变增量形式指数的关系 d 123e1e3e2d3、Levy-Mises本构方程因为0=0，所以eij=ij，ij=0ij+eij 应变偏量的增量与应力偏量的关系由假定，并参照Page57和Page21材料符合Mises准则，由假定在非主应力的情况下应变增量的主轴与应力增量的主轴是重合的且ex=x，ey=y上式即为Levy-MisesLevy-Mises本构关系本构关系 讨论讨论 ：已知三个正应力，可求出其正应力的偏量（Page 30)因而可求出应变
3、偏量增量之间的比值，还不能求出其具体值如果已知主轴方向应变偏量的增量，可以求相应方向应力偏量若再给出平均应力0，则可求出三个主应力适用条件：弹性变形可忽略的金属加工中。4、Prandtl-Reuss本构方程总应变等于弹性与塑性应变之和，其增量表示为展开以后：Mises屈服条件变换形式（）将上式改写成如下形式等式两边取微分sx、sy、sz分别乘以（）式左三式xy、yz、zx分别乘以（）式右三式得出六式 后相加令上式=dw于是可得Prandtl-Reuss本构方程例题，Page1035、Hencky-伊柳辛理论 应变增量成比例增长Hencky提出，伊柳辛完善之d1: d2: d3=c1: c2:
4、c3因而有积分得利用初始条件确定积分常数当 1=0，则 2=3=0所以 D1=D3=0所以 应变强度表达式为（等效应变）增量形式上式积分后得根据初始条件确定积分常数D1=2=3=0 时，i=0, 因而 D=0比例变形的结果： 各应力分量按比例加载（成比例变形时的必要条件）Prandtl-Reuss本构方程变为积分后得将 代入上式因而得令所以：这就是Hencky 本构方程，它 包括了弹性变形与塑性变形 应变偏量与应力偏量成比例主应力、主应变偏量关系应变强度（参见公式（1-29）page 20）所以有伊柳辛理论可以写成（弹塑性共有）弹性部分塑性部分（总应变偏量与弹性 应变偏量之差）式中关键是等效应
5、变与等效应力的比值 形变理论应满足的条件加载应为单调增加，尽量不中断，更不能卸载材料是不可压缩的应力应变曲线具有幂化形式小变形（弹性与塑性变形为同一量级） Davis-儒柯夫试验试验材料铜材拉力与内压比值k不同（同一试件k为常数）做出ii曲线结论：类似单轴简单加载E-超过弹性极限后的比例系数 例题：14， page 1131185.3 粘性体的本构关系5.3.1 岩石的蠕变曲线及其特征 一、流变的概念岩石的流变性是指岩石应力应变关系随时间而变化 的性质。两种特殊形式蠕变应力松弛蠕变现象应力保持恒定，应变随时间而增大。 松弛现象应变保持恒定，应力随时间而逐渐减小弹性后效加载或卸载，弹性应变滞后于
6、应力的现象二、岩石的蠕变性能1、岩石的蠕变变特性通常用蠕变曲线（-t曲线）表示岩石的蠕变特性。（1）稳稳定蠕变变：岩石在较小的恒定力作用下，变形随时间增加到一定程度后就趋于稳定，不再随时间增加而变化，应变保持为一个常数。稳定蠕变一般不会导致岩体整体失稳。（2）非稳稳定蠕变变：岩石承受的恒定荷载较大，当岩石应力超过某一临界值时，变形随时间增加而增大，其变形速率逐渐增大，最终导致岩体整体失稳破坏。（3）岩石的长期强度：岩石的蠕变形式取决于岩石应力大小，当应力小于某一临界值时，岩石产生稳定蠕变；当应力大于该值时，岩石产生非稳定蠕变。则将该临界应力称为岩石的长期强度。 2、岩石的典型蠕变曲线及其特征典
7、型的蠕变曲线可分为4个阶段： (1)瞬时弹性变形阶段（OA）： (2)一次蠕变阶段（AB）：（瞬态蠕变段） (3)二次蠕变阶段（BC）：（等速或稳定蠕变段） (4)三次蠕变阶段（CD）：（加速蠕变段） 蠕变变形总量：=0+1(t)+2(t)+3(t)式中：0-瞬时弹性应变； 1(t)，2(t)，3(t)-与时间有关的一、二、三次蠕变 v -粘塑性应变， Q -粘弹性应变。3、岩石的蠕变曲线类型类型1：稳定蠕变 。曲线包含瞬时弹性变形、瞬态蠕变和稳定蠕变3个阶段（压应力10MPa，12.5MPa）类型2：典型蠕变 。曲线包含4个阶段（压应力15MPa，18.1MPa）类型3：加速蠕变 。曲线几乎
8、无稳定蠕变阶段，应变率很高（压应力20.5MPa，25MPa）5.3.2 岩石的流变模型 岩石的流变本构模型 ：用于描述岩石应力应变关系随时 间变化的规律。它是通过试验理论应用证实而得到的。 本构模型分类： 经验公式模型：根据不同试验条件及不同岩石种类求得的数学 表达式，通常采用幂函数、指数函数、对数函数的形式表达。组合模型：将岩石抽象成一系列简单元件（弹簧、阻尼器、摩简单元件（弹簧、阻尼器、摩 擦块）擦块），将其组合来模拟岩石的流变特性而建立的本构方程。(属 于物理模型物理模型，亦属于微分模型微分模型)积分模型：是在考虑施加的应力不是一个常数时的更一般的情 况下，采用积分的形式表示应力应变时
9、间应力应变时间关系的本构方程。 一、经验公式模型 1、幂函数型 ： 式中：A、n：经验常数，取决于应力水平、材料特性及温度条件。 2、对数型 ： 式中： e 为瞬时弹性应变；B，D取决于应力性质及水平3、指数型 ： 式中： A为试验常数，f(t)是时间t的函数。二、组合模型（一）流变模型元件1、弹性介质及弹性元件（虎克体） ： 弹性介质性质： 具有瞬时变形性质常数，则保持不变，故无应力松弛性质常数，则也保持不变，故无蠕变性质0（卸载），则0，无弹性后效。可见， 、 与时间与时间t t无关无关。2、粘性介质及粘性元件（牛顿体） 加载瞬间，无变形即当t=0时,=0,=0,则 c=0粘性介质性质：
10、（1）当0时， 说明在受应力 0作用，要产生相应的变形必须经过时间t，无瞬时变形无瞬时变形，粘性元件具有蠕变性质具有蠕变性质；（2）0（卸载），则常数，故无弹性后效无弹性后效，有永久变形。（3）常数，则0，粘性元件不受力，故无应力松弛性质无应力松弛性质。2.3 岩石的流变性3、塑性介质及塑性元件（圣维南体） 当:s ，=0s , 可模拟刚塑性体的变形性质 牛顿体具有粘性流动的特点牛顿体具有粘性流动的特点。塑性元件具有刚塑性体塑性元件具有刚塑性体变形变形（塑性变形也称塑性流动）的特点。粘性流动：只要有微小的力就会发生流动。塑性流动：只有当应力达到或超过屈服极限s才会产生变形。粘弹性体：研究应力小
11、于屈服极限时的应力、应变与时间的关系；粘弹塑性体：研究应力大于屈服极限时的应力、应变与时间的关系；（二）、岩石的组合流变模型 1、弹塑性介质模型当:s ，=s , 保持不变， 持续增大，。2、马克斯威尔模型（Maxwell）该模型由弹性元件和粘性元件串联而成，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。设弹簧和粘性元件的应力、应变分别为1,1和 2 ,2，组合模型 的总应力为和。弹簧:由 (b):粘性元件:则 12， (a)1 2 (b)Maxwell模 型本构方程本构方程马克斯威尔模型本构方程： 蠕变曲线：当保持不变，即 0常数，d/dt=0,代入上式得：通解为：初始条件：（加载瞬间）得： c
12、 = 0蠕变方程：蠕变方程：2.3 岩石的流变性马克斯威尔模型本构方程： 卸载曲线：当t=t1时卸载，弹性变形0立即恢复，则卸载曲线卸载曲线为：这是不可恢复的塑性变形。蠕变方程： 、松弛曲线：当保持不变，即0常数，d/dt=0,代入上式得：通解为：初始条件：得：c = ln0松弛方程：松弛方程：马克斯威尔模型本构方程：可见：马克斯威尔模型具有瞬时变形、蠕变和松弛的性质，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。3、开尔文（Kelvin）模型该模型由弹性元件和粘性元件并联而成，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。设弹簧和阻尼元件的应力、应变分别为1 、1和2 、2， 组合模型的总应力为和
13、。弹簧:由 (a):阻尼元件:则 1+2， (a)1 =2 (b)Kelvin模型 本构方程(c)(d)开尔文模型本构方程： 、蠕变曲线：当保持不变，即 0常数，代入上式得：通解为：初始条件：加载瞬间，粘性元件不 变形，即得：蠕变方程：可见：当t=0时, =0，当t 时， 00/E ,即弹性变形(弹性后效） (d )蠕变方程凯尔文模型能模拟稳定蠕变，不能模拟瞬时弹性变形。2.3 岩石的流变性若在tt1 时卸载，0，由本构方程： 、卸载曲线方程得：通解为：得卸载方程：当卸载瞬间t=t1时,= t1 ，当t时，0, 即卸载后，变形慢慢恢复到0（后效）通解为：初始条件：得:开尔文模型本构方程： 、松
14、弛曲线：当保持不变，即0常数，d/dt=0,代入上式得：可见，应力最终由弹簧承担后，应变就停止发展了。 该模型反映了弹性后效现象和稳定蠕变性质。开尔文模型是一种 粘弹性模型。(三）模型识别与参数的确定1、模型识别模型识别即根据流变试验曲线确定用何种组合流变模型来模拟 这种岩石的流变特征。蠕变曲线有瞬时弹性应变段模型中则应有弹性元件蠕变曲线在瞬时弹性变形之后应变随时间发展模型中则应有粘性元件如果随时间发展的应变能够恢复弹性元件与粘性元件并联组合如果岩石具有应力松弛特征弹性元件与粘性元件串联组合如果松弛是不完全松弛（应力减小至s）模型中应有塑性元件（宾汉模型）2、模型参数的确定模型参数的确定一般要
15、通过数值计算进行，对于简单模型， 可用试验数据直接确定模型参数。例：马克斯威尔模型有两个参数E 和。E可由瞬时弹性应变 求出：式中：o-蠕变试验所施加的常应力o-是瞬时弹性应变。马克斯威尔模型蠕变方程在曲线上任取一点（t1 0),可求得 粘性系数：5.4 岩石的强度理论 强度理论:研究岩体破坏原因和破坏条件的理论。强度准则则:在外荷载载作用下岩石发发生破坏时时，其应应力（应变应变 ）所必须满须满 足的条件。强度准则则也称破坏准则则或破坏判据。一、一点的应力状态1、应力符号规定（1）正应力以压应力为正，拉应力为负； （2）剪应力以使物体产生逆时针转为正，反之为负； （3）角度以x轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正，反之为 负。2、一点应力状态6个应力分量： x,y,z, xy,yz,zx5.4 岩石的强度理论 3、平面问题的简化在实际工程中，可根据不同的受力状态，将三维问题简化为平面 问题。 （1）平面应力问题； （2）平面应变问题。4、基本应力公式以
