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1、第13章 平面弯曲杆件的变形 与刚度计算主要内容 挠曲线 挠度和转角 挠曲线的近似微分方程 积分法求梁的变形 叠加法求梁的变形 梁的刚度条件与合理刚度设计 用变形比较法解简单超静定梁 挠度曲线（简称挠曲线） 直梁在荷载的作用下，其轴线由直线变为曲线 ，受弯后的梁轴弯曲成连续、光滑的曲线。P xw 梁变形后横截面发生两种位移 截面形心的线位移 截面的角位移 挠度：横截面形心在垂直于梁初始轴线方向的位移。 挠度用w表示，常用的单位是毫米（mm）； 与w轴正向一致的挠度为正，反之为负。 转角：横截面相对于变形前的位置转过的角度示。 转角用q 表示，常用的单位是弧度（rad）； 挠曲线上某点处的斜率为
2、正时，则该处横截面的转角为正 ，反之为负。 挠曲线方程w =w (x) 挠度与转角的关系x w(x)Cq (x)C1w小变形Ox 挠曲线的近似微分方程小变形挠曲线近似微分方程挠曲线微分方程wxM0wxM0 积分法求梁的变形F ABCF D 位移边界条件： 连续性条件： 例13-1 悬臂梁，弯曲刚度为EI，在自由端受集中力F作用。 求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立挠曲线近似微分方程并积分解：F lxwx 应用位移边界条件求积分常数 梁的转角方程和挠曲线方程 绘出梁的挠曲线示意图，得最大挠度及最大转角xwF l 例13-2简支梁受均布荷载q作用，弯
3、曲刚度为EI，求梁的最 大挠度及两端截面的转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立挠曲线近似微分方程并积分解： 应用位移边界条件求积分常数 梁的转角方程和挠曲线方程 绘出梁的挠曲线示意图，得最大挠度及最大转角 例13-3 简支梁，弯曲刚度为EI，在D处受集中力F作用，求 梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程解：AlFDabwxxxB建立挠曲线近似微分方程并积分连续性条件： 确定积分常数位移边界条件： 梁的转角方程和挠曲线方程求最大转角 绘出梁的挠曲线示意图，得最大挠度及最大转角当abl/2时，求得 的位置。求最大挠度当abl/2时，xwF labl/2 叠加
4、法求梁的变形叠加法：梁在几项荷载同时作用下，某一截面的挠度及转角就等于每项荷载单独作用下该截面的挠度的叠加及转角的叠加。 各种支承下静定梁在各简单荷载作用下的变形（表13-1） 例13-4 简支梁，弯曲刚度为EI，承受均布荷载及集中力偶作 用。用叠加法求梁跨中截面C处挠度和右端支座B处的转角。=+解：载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，得简单载荷引起的变形。叠加 例13-5 简支梁，弯曲刚度为EI。用叠加法求梁跨中截面C处 挠度和两端截面的转角。=+解：载荷分解如图由梁的简单载荷变形表得变形。叠加练习 求A点转角和C点挠度。解：载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。qqFF=+
5、AAABBBCaa叠加q0LFBAB梁的刚度条件与合理刚度设计 梁的刚度条件称为许用转角；w/l称为许用挠跨比。 校核刚度 设计截面尺寸 设计载荷土建工程机械制造传动轴在支座处通常依此条件进行如下三种刚度计算： 例13-8由No.40a工字钢制成的吊车大梁。已知起吊的最大重 量FP=30kN，梁跨度l=10m，材料的许用应力=140MPa，弹 性模量E=200GPa，梁的许用挠度与跨度之比值为w/l=1/500 。考虑梁自重的影响，试校核梁的强度和刚度。解： 进行校核的计算简图由型钢规格表（）校核梁的正应力强度应用叠加法求得梁的最大弯矩值（）校核梁的刚度应用叠加法求得梁跨中截面 处的最大挠度该
6、梁满足强度要求和刚度要求。梁的合理刚度设计 梁的弯曲变形和刚度与梁的受力、支承条件、跨度长短及梁 的弯曲刚度EI有关。梁跨度的选取 合理安排梁的约束与加载方式 合理选择截面形状 合理选择材料（1）适当减小梁的跨度，可以有效地减小梁的弯曲变形，显著地提高梁的刚度。 如：受均布荷载作用的简支梁，其最大挠度与跨度的4 次方成正比，若跨度缩短10，最大挠度相应减小 34.4。（2）合理安排梁的约束与加载方式，可以显著降低梁内的最大弯矩，减小梁的变形。 集中载荷尽量靠近支座 将集中荷载分散 简支梁两端支座内移Fl/2l/2Mx +Fl/4Fl/43l/4Mx3Fl/16F=qll/54l/5对称Mxql
7、2/10Mxqll/5ql/5402ql502ql-Mxql/2l/2322ql-Mx（）合理选择截面形状 用较小的面积，获得较大的惯性矩 工字形、槽形、 形截面等都比面积相等的矩形截 面有更大的惯性矩 要考虑提高全长或较长范围内的截面惯性矩（）合理选择材料 选择弹性模量高的材料，可以有效地减小梁的弯曲 变形，显著地提高梁的刚度。 在设计中，当选用普通钢材已能满足强度要求时， 若只是为了进一步提高梁的刚度而改用优质钢材， 不但不经济，而且也达不到预期效果。用变形比较法解简单超静定梁 超静定梁：梁的支座约束力数目超过平衡方程式的数目， 只凭静力平衡方程式不能解出全部未知约束力。 多余约束: 在超
8、静定梁中超过维持静力平衡所必须的约束。 多余约束力: 多余约束所对应的约束力。 超静定次数: 超静定梁未知约束力的数目与静力平衡方程式 数目的差数。等于多余约束力数。 求解超静定梁的未知约束力，除列出静力平衡方程外，还需 根据结构的变形协调条件和力与变形间的物理关系，建立补 充方程，且使补充方程的数目等于多余约束力数，才能求得 全部约束力。建立静定基确定超静定次数，解除约束，用相应的多余约束力代之，把原超静定梁在形式上转变为静定系统（基本静定基或静定基）。静定基一般不唯一。qlABqlFBABxw简单超静定梁的求解方法lqmABA变形协调方程+qlFBAB=FBABqAB物理方程变形与力的关系
9、补充方程求解其它约束力lqmABA变形协调方程物理方程变形与力的关系补充方程求解其它约束力求解其它问题 变形比较法: 变形协调条件是通过比较静定基与原超静 定梁的变形而建立的。 （）确定超静定次数，选择静定基，解除多余约束 ，用相应的多余约束力代替多余约束的作用。 （）求出在原荷载和多余约束力的共同作用下所引 起静定基在解除多余约束处的变形。 （）根据静定基在解除多余约束处的变形与原超静 定梁在该处的相应变形协调的条件，并利用力与变形 关系，建立补充方程。 （）由补充方程求解多余约束力。 （）由平衡方程求解其他支座约束力。 例13-9 AB梁如图，F=35kN。梁和杆用同样的钢材制成，材 料弹性模量为E，梁横截面的惯性矩I=210-4m4，梁长l=3m， 杆截面直径d=12mm，杆长l1=2.4m。求钢杆BC所受的力。一次超静定梁，建立静定基如图变形协调方程物理方程解： 补充方程变形协调方程解：建立静定基=练习 结构如图，求B点反力。LBCxwq0LFBABCq0LFBAB=FBAB+q0AB=LBCxwq0LFBABCFBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程第13章习题 131 134 a、c 1311 1312
