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1、含参不等式恒成立问题的求解策略含参不等式恒成立问题的求解策略江苏省灌南高级中学江苏省灌南高级中学 熊寿权熊寿权 222500“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其 以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面， 在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程” 、 “化归与转化” 、 “数形结合” 、 “分类讨论” 等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。 本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,
2、有), 0()(2Rxacbxaxxf1）对恒成立; 0)(xfRx 00a2）对恒成立 0)(xfRx.00 a例例 1 1已知函数的定义域为 R，求实数的取值范围。) 1(lg22axaxya解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有0) 1(22axaxRx解得。04) 1(22aa311aa或所以实数的取值范围为。a),31() 1,(若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。x例例 2 2设，当时，恒成立，求实数的取值22)(2mxxxf), 1xmxf)(m范围。解：设，则当时，恒成立mmxxxF22)(2), 1x0)(xF当时，显然成立；120)2)(1(4m
3、mm即0)(xF当时，如图，恒成立的充要条件为：00)(xF解得。1220) 1(0mF23mOxy x-1综上可得实数的取值范围为。m) 1 , 3二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立axf)(min)(xfa 2）恒成立axf)(max)(xfa 例例 3 3已知，当时，xxxxgaxxxf4042)(,287)(2323 , 3x恒成立，求实数的取值范围。)()(xgxfa解：设，cxxxxgxfxF1232)()()(23则由题可知对任意恒成立0)(xF3 , 3x令，得01266)(2xxxF21xx或而,20)2(,7) 1(aF
4、aF,9)3(,45)3(aFaF045)(maxaxF即实数的取值范围为。45aa),45例例 4 4函数，若对任意，恒成立，求), 1 ,2)(2 xxaxxxf), 1 x0)(xf实数的取值范围。a解：若对任意，恒成立，), 1 x0)(xf即对，恒成立，), 1 x02)(2 xaxxxf考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得), 1 x022axx), 1 x而抛物线在的最小值得axxxg2)(2), 1 x03) 1 ()(minagxg3a注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。)(xf2)(xaxxf)(xf三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分
5、离于不等式两端，从而问题转化为求 主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操 作性更强。一般地有：1）恒成立为参数）aagxf)()(max)()(xfag2）恒成立为参数）aagxf)()(max)()(xfag实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时022axx), 1 xxxa22), 1 x恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 xxxh2)(2), 1 33a例例 5 5已知函数时恒成立，求实数的取值范4 , 0(,4)(2xxxaxxf0)(xfa围。解： 将问题转化为对恒成立。xxxa24 4 , 0(x令，则xxxxg
6、24)(min)(xga 由可知在上为减函数，故144)(2 xxxxxg)(xg4 , 0(0)4()(min gxg即的取值范围为。0aa)0 ,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位” 思考，往往会使问题降次、简化。例例 6 6对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 1 , 1a024)4(2axaxx分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化xa为一次不等式在上恒成立的问题。044)2(2xxax 1 , 1a解：令，则原问题转化为恒成立（44)2(
7、)(2xxaxaf0)(af） 。 1 , 1a当时，可得，不合题意。2x0)(af当时，应有解之得。2x 0) 1(0) 1 ( ff31xx或故的取值范围为。x), 3() 1 ,(注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件)0()(kbkxxf,0)(xf为。 0)(0)( ff四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合 思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式 有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；)()(xgxf)(xf)(xg2）函数图象恒在函数图象下上方。)()(xgxf)(xf)(xg例例 7 7设 , ,若恒有成立,求实数xxxf4)(2axxg134)()()(xgxf的取值范围. a分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象 )(xf)(xg如图所示，的图象是半圆 )(xf)0(4)2(22yyx的图象是平行的直线系。)(xg03334ayx要使恒成立，)()(xgxf则圆心到直线的距离)0 , 2(03334ayx满足 25338ad解得（舍去)355aa或由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思 想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变” ，当然这需要我们不断的去领悟、体 会和总结。x-2-4yO-4
