考研数学高数部分

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1、2011 考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结 1 高数部分 1.1 高数第一章函数、极限、连续 1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和型的题目直接用洛必达法则， 对于0、0、1型的题目则是先转化为00型或型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sinlim 0xxx、exxx10)1 (lim、ex x x)1 (1lim；4.夹逼定理。 1.3 高数第二章导数与微分 、第三章不定积分 、第四章定积分 第二章导数与微分与前面的第一章函数、极限、连续 、后面的第三章不定积 分 、第四章定积分都是基础性知识，一方面有单独出题的情况

2、，如历年真题的填空题 第一题常常是求极限； 更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用， 故非常有必要打牢 基础。 对于第三章不定积分 ，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分CxFdxxf)()(中的积分常数 C 容易被忽略， 而考试时如果在答案中少写这个 C 会失一分。 所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分dxxf)(的结果可以写为 F(x)+1，1 指的就是那一分，把它折弯后就是CxFdxxf)()(中的那个 C,漏掉了 C 也就漏掉了这 1 分。 第四章定积分及广义积分可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的 关键

3、除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于aadxxf)(型定积分，若 f(x)是奇函数则有aadxxf)(=0；若 f(x)为偶函数则有aadxxf)(=2adxxf 0)(；对于20)( dxxf型积分，f(x)一般含三角函数，此时用xt2 的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手， 对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换 x=-u 和利用性质0aa奇函数、 aaa02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。 这种思路对于证明定积分等式的 题目也同

4、样有效。 1.41.4 高数第五章中值定理的证明技巧 高数第五章中值定理的证明技巧 由本章中值定理的证明技巧讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来 作模型：假如有逻辑推导公式 AE、(AB)C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出 A、B、D，求证 F 成立。 为了证明 F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方 向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的 逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明 F 成立必备逻辑公式中的 AE 就可能有 AH、A

5、(IK)、(AB) M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有 可能用到，如(AB) M，因为其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如 对于模型中的(AB) C，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。 通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地 从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。 针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而 不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出

6、了问题； 另外更重要的一点是如何 从题目中尽可能多地获取信息。 当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论 简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以 后却再也无法与结论拉近距离了。 从出题人的角度来看， 这是因为没能够有效地从条件中获 取信息。 “尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是 这样安排的， 但从题目的 “欲证结论” 中获取信息有时也非常有效。 如在上面提到的模型中， 如果做题时一开始就想到了公式(CDE) F 再倒推想到 (AB) C、 AE 就可以证明了。 如果把主要靠分析条件入

7、手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒 推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律 性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型： 条件 欲证结论 可用定理 A 关于闭区间上的 连续函数，常常 是只有连续性已 知 存 在 一 个 满 足 某 个 式 子 介 值 定 理 （ 结 论 部 分 为 ： 存 在 一 个使 得kf)(） 零 值 定 理 （ 结 论 部 分 为 ： 存 在 一 个使 得0)(f） B 条件包括函数在 闭区间上连续、 在开区间上可导存 在 一 个 满足0)()(nf费尔马定理（结论部分为：

8、0)(0xf） 洛尔定理 （结论部分为： 存在一个使得0)(f）C 条件包括函数在 闭区间上连续、 在开区间上可导存 在 一 个 满足kfn)()( 拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个使得abafbff)()( )(） 柯西中值定理（结论部分为：存在一个使得)()()()()()( agbgafbf gf ） 另外还常利用构造辅助函数法， 转化为可用费尔马或 洛尔定理的形式来证明 从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱，如表格中 B、C 的条件是一样的，同时 A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如 果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较

9、， 会比从题目条件上挖掘信息更容易 找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重 点应该放在熟记定理的结论部分上； 如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论 “存在一个使得kf)(” 、看到题目欲证结论中出现类似“存在一个使得kf)(”的形式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子0)(f；而见到式子)()()()()()( agbgafbf gf 也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在处理本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说， “牢记定理的结论部分”对作证明 题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。 综上所述

10、，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题 目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相 结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能” 。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅 弄明白这些离实战要求还差得很远， 因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技 巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不 多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这 也就是自身感觉与实战要求之间的差别。 这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不 同的

11、一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中 才慢慢清晰的。 我们需要做的就是靠足量、 高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种 变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。依我看，最大的技 巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。 1.51.5 高数第六章常微分方程 高数第六章常微分方程 本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、 高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。 历年真题中对于一阶微分方程和可降阶 方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法 线、

12、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题， 而且考察到的类型一般都不是很复杂。 对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放在第一位的；分清类 型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。 这是因为其实并非所有的微分方程都是可解 的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知 识点紧密结合或是灵活转换。 这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的 “辨明类 型套用对应方法求解”的套路 ，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便 于以这样的方式使用。 先讨论一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式

13、必须牢记，还要 能够对易混淆的题目做出准确判断。 各种类型都有自己对应的格式化解题方法， 这些方法死 记硬背并不容易， 但有规律可循这些方法最后的目的都是统一的， 就是把以各种形式出 现的方程都化为 f(x)dx=f(y)dy 这样的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程0)()()()(2211dyygxfdxygxf，就是变形为dxxfxf )()(21=-dyygyg )()(12，再积分求解；对于齐次方程)(xyfy 则做变量替换xyu ，则y化为dxduxu，原方程就可化为关于xu和的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程)()(xqyxpy第一步先求0)(yxpy的通

14、解，然后将变形得到的dxxpydy)(积分，第二步将通解中的 C 变为 C(x)代入原方程)()(xqyxpy解出 C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程)()(xqyxpyny，先做变量代换nyz1代入可得到关于 z、x 的一阶线性方程，求解以后将 z 还原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy 比较特殊，因为其有条件xN yM ，而且解题时直接套用通解公式xxdxyxM0),(0yyCdyyxN0),(. 所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于)()(xfyn型方程，就是先把)1( ny当作未知函数 Z，

15、则Zyn)(原方程就化为 dxxfdz)(的一阶方程形式，积分即得；再对)2( ny、)3( ny依次做上述处理即可求解； ),(yxfy 叫不显含 y的二阶方程，解法是通过变量替换 py、py (p 为 x 的函数)将原方程化为一阶方程；),(yyfy 叫不显含 x 的二阶方 程 ， 变 量 替 换 也 是 令py（ 但 此 中 的p为y的 函 数 ）， 则pppydydp dxdy dydp ，也可化为一阶形式。 所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换uxy” ， “求解贝努利方程就用变量替换nyz1”一样，在这里也要记住“求解不显含 y 的二阶方程就用变量替换py、py ” 、 “求解不显含 x 的二阶方程就用变量替换py、ppy ” 。 大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方 程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆： 若)(1xy、)(2xy是齐次方程0)()(yxqyxpy的两个线性无关的特解，则 该 齐次 方 程的 通 解为)()()(2211xycxycx若齐次方程组 Ax=0 的基础解系有(n-r)个线性无 关 的 解 向 量 ， 则 齐 次 方 程 组 的 通 解 为rnrnykykykx